Каждое из четырех последовательных натуральных чисел поделили на его первую цифру и сложили все полученные числа, а полученную сумму обозначили за S.
а) Может ли S = 41\frac{11}{24}?
б) Может ли S = 569\frac{29}{72}?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать S, если известно, что 4 исходных числа не меньше 400 и не больше 999?

Источник: Досрочная волна 2022

Решение:

    Приведу, пример, что бы стало понятнее условие:
    Взяли 4 последовательных натуральных числа, например:

35; 36; 37; 38

    Поделили каждое из них на их первую цифру:

\frac{35}{3}; \frac{36}{3}; \frac{37}{3}; \frac{38}{3}

    Нашли их сумму S:

S = \frac{35}{3}+ \frac{36}{3}+ \frac{37}{3}+ \frac{38}{3}=11\frac{2}{3}+12+12\frac{1}{3}+12\frac{2}{3}=47\frac{5}{3}=48\frac{2}{3}

    Заметим, что если у всех 4-х чисел одинаковая первая цифра (в данном примере это 3), то и знаменатель у дроби в сумме S будет равен этой цифре (в примере это 3).
    Если числа с разными первыми числами, то могут быть следующие варианты знаменателя дроби S:

1 и 2 = общий знаменатель 1·2 = 2
2 и 3 = общий знаменатель 2·3 = 6
3 и 4 = общий знаменатель 3·4 = 12
4 и 5 = общий знаменатель 4·5 = 20
5 и 6 = общий знаменатель 5·6 = 30
6 и 7 = общий знаменатель 6·7 = 42
7 и 8 = общий знаменатель 7·8 = 56
8 и 9 = общий знаменатель 8·9 = 72

а) Да, может.
    В знаменателе дроби стоит 24, такое могло быть, только если изначально дробь была со знаменателем 72, но потом сократилась 72/3 = 24 и знаменатель стал 24.
    Числа которые тут могли быть двухзначные (иначе сумма будет больше 41) начинаются на 8 и 9. Возможны следующие варианты:

87; 88; 89; 90
88; 89; 90; 91
89; 90; 91; 92

    Проверяем для каждого варианта cумму S. Искомая сумма получится в следующем варианте:

89; 90; 91; 92
S = \frac{89}{8}+ \frac{90}{9}+ \frac{91}{9}+ \frac{92}{9}=11\frac{1}{8}+10+10\frac{1}{9}+10\frac{2}{9}=41+(\frac{1}{8}+\frac{3}{9})=41+(\frac{1\cdot 9+3\cdot 8}{72})=41\frac{33}{72}=41\frac{11}{24}

б) Нет, не может.
    Знаменатель 72, числа начинаются на 8 и 9. Сумма  569 двухзначных чисел будет мало, четырёхзначных много, значит это трёхзначные. Возможны следующие варианты:

897; 898; 899; 900
898; 899; 900; 901
899; 900; 901; 902

    Проверив для каждого варианта cумму S, поймём, что максимальная сумма тут будет чуть больше 400, а у нас 569, значит чисел дающих такую сумму не существует.

в) 4 числа на отрезке [400; 999], найти наибольшую целую сумму S.
    Чем меньше знаменатель на которое делится число, тем больше сумма, а значит, чем меньше первая цифра числа тем больше сумма.
   Если все числа начинаются на 4, то целую сумму S получить невозможно: 
    4 последовательных числа можно представить как:

а; a + 1; a + 2; a + 3

    Найдём для них S, учитывая, что они начинаются на 4:

S = \frac{a}{4}+ \frac{a+1}{4}+ \frac{a+2}{4}+ \frac{a+3}{4}=\frac{a+a+1+a+2+a+3}{4}=\frac{4a+6}{4}=\frac{4a}{4}+\frac{6}{4}=a+\frac{6}{4}=a+\frac{3}{2}=a+1+\frac{1}{2}

    Видим, что S будет всегда не целым числом.
   Возьмём пограничные варианты, где числа начинаются и на 4 и на 5:

497; 498; 499; 500
498; 499; 500; 501
499; 500; 501; 502

    Проверив для каждого варианта S, целых S не получим.
   Возьмём максимальные числа начинающиеся на 5:

596; 597; 598; 599

    Найдём для них S:

S = \frac{596}{5}+ \frac{597}{5}+ \frac{598}{5}+ \frac{599}{5}=\frac{596+597+598+599}{5}=\frac{596+597+598+599}{5}=\frac{2390}{5}=478

   Все остальные числа будут давать меньшее S даже если среди них будут целые S, т.к. числа надо будет делить на число большее 5.
    Наибольшее целое значение S = 478.

Ответ: а) да; б) нет; в) 478.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.6 / 5. Количество оценок: 20

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставь контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.