18. Числа и их свойства

С натуральным трёхзначным числом проводят следующую операцию: из числа вычитают его сумму цифр, и полученный результат делят на 3. а) Может ли результатом выполнения операции быть число 300? б) Может ли результатом выполнения операции быть число 151? в) Сколько различных результатов можно получить, если применить данную операцию для всех трёхзначных чисел от 100 до 600?

Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй – 102, в третьей – 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов. а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй – 102, в третье – 103, а в четвёртой – 4? б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней? в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

С натуральным трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на 10, а затем к получившейся сумме прибавляют 3. а) Могло ли в результате такой операции получиться число 224? б) Могло ли в результате такой операции получиться число 314? в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.

Каждое из четырех последовательных натуральных чисел поделили на его первую цифру и сложили все полученные числа, а полученную сумму обозначили за S. а) Может ли S = 41 11/24? б) Может ли S = 569 29/72? в) Какое наибольшее целое значение может принимать S, если известно, что 4 исходных числа не меньше 400 и не больше 999?

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 14. а) Может ли наибольшее из этих одиннадцати чисел равняться 16? б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 10? в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех одиннадцати чисел.

Для действительного числа х обозначим через [х] наибольшее целое число, не превосходящее х. Например, [11/4] = 2, так как 2≤[11/4]<2 а) Существует ли такое натуральное число n, что [n/2]+[n/3]+[n/9]=n? б) Существует ли такое натуральное число n, что [n/2]+[n/3]+[n/5]=n+2? в) Сколько существует различных натуральных n, для которых [n/2]+[n/3]+[n/8]+[n/23]=n+2021?

Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр – целое число. а) Может ли это отношение быть равным 11? б) Может ли это отношение быть равным 5? в) Какое наибольшее значение может принимать это отношение, если число не делится на 100 и его первая цифра равна 7?

Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр – целое число. а) Может ли это отношение быть равным 34? б) Может ли это отношение быть равным 84? в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 4?