Для действительного числа х обозначим через [х] наибольшее целое число, не превосходящее х. Например, [\frac{11}{4}] = 2, так как 2≤\frac{11}{4}<3.
а) Существует ли такое натуральное число n, что [\frac{n}{2}]+[\frac{n}{3}]+[\frac{n}{9}]=n?
б) Существует ли такое натуральное число n, что [\frac{n}{2}]+[\frac{n}{3}]+[\frac{n}{5}]=n+2?
в) Сколько существует различных натуральных n, для которых [\frac{n}{2}]+[\frac{n}{3}]+[\frac{n}{8}]+[\frac{n}{23}]=n+2021?
Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)
Решение:
а) нет, не существует.
[х] – это целая часть числа х. Действительно \frac{11}{4}=2\frac{3}{4}, тогда [\frac{11}{4}] = 2.
Заметим, что [х] всегда ≤ x.
Тогда для суммы дробей можно записать неравенство:
[\frac{n}{2}]+[\frac{n}{3}]+[\frac{n}{9}]≤\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+\frac{n}{9}
[\frac{n}{2}]+[\frac{n}{3}]+[\frac{n}{9}]≤\frac{9n+6n+2n}{18}
[\frac{n}{2}]+[\frac{n}{3}]+[\frac{n}{9}]≤\frac{17}{18}n
n≤\frac{17}{18}n
не верно
б) да, существует.
Аналогично пункту а) запишем неравенство для суммы дробей:
[\frac{n}{2}]+[\frac{n}{3}]+[\frac{n}{5}]≤\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+\frac{n}{5}
[\frac{n}{2}]+[\frac{n}{3}]+[\frac{n}{5}]≤\frac{15n+10n+6n}{30}
[\frac{n}{2}]+[\frac{n}{3}]+[\frac{n}{5}]≤\frac{31}{30}n
n+2≤\frac{31}{30}n
Найдём при каком n выполняется равенство:
n+2=\frac{31}{30}n
30(n + 2) = 31n
30n + 60 = 31n
60 = 31n – 30n
60 = n
Проверим:
[\frac{n}{2}]+[\frac{n}{3}]+[\frac{n}{5}]=n+2
[\frac{60}{2}]+[\frac{60}{3}]+[\frac{60}{5}]=60+2
30 + 20 + 12 = 60 + 2
62 = 62
верно
в) Пусть q, p, k, m остатки от деления на 2, 3, 8 и 23 соответственно.
q может быть равно: 0 или 1 (остаток при делении на 2, всего 2 остатка);
p может быть равно: 0, 1, 2 (остаток при делении на 3, всего 3 остатка);
k может быть равно: 0, 1, 2, 3, 4 … 7 (остаток при делении на 8, всего 8 остатков);
m может быть равно: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 … 22 (остаток при делении на 23, всего 23 остатка);
Тогда каждую из дробей можно записать в виде:
[\frac{n}{2}] = \frac{n-q}{2}
Т.е. от числа n отнимаем остаток и получаем числитель делящийся нацело на 2 и получаем целую часть числа.
Аналогично и для других дробей, подставим их:
\frac{n-q}{2}+\frac{n-p}{3}+\frac{n-k}{8}+\frac{n-m}{23}=n+2021\\ \frac{276(n-q)+184(n-p)+69(n-k)+24(n-m)}{552}=n+2021\\ \frac{553n-276q-184p-69k-24m}{552}=n+2021\\
553n – 276q – 184p – 69k – 24m = 552·(n + 2021)
553n – 276q – 184p – 69k – 24m = 552n + 552·2021
553n – 552n = 276q + 184p + 69k + 24m + 552·2021
n = 276q + 184p + 69k + 24m + 552·2021
Получаем, что все возможные различные натуральные n можно представить в данном виде, подставляя различные остатки.
Количество различных вариантов чисел равно произведению количества остатков:
2·3·4·23 = 552
Заметим, что при q = 0 (для чётных n), k = 0, 2, 4 или 6, а при q = 1 (для нечётных n), k = 1, 3, 7 или 6. Таким образом количество возможных остатков k получаем не 8, а 4.
Ответ: а) нет; б) да; в) 552.