Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр – целое число.

а) Может ли это отношение быть равным 11?
б) Может ли это отношение быть равным 5?
в) Какое наибольшее значение может принимать это отношение, если число не делится на 100 и его первая цифра равна 7?

Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)

Решение:

а) Да, может. Дано трёхзначное число аbc, которое можно записать как а·100 + b·10 + c·1 и сумма его чисел а + b + c (а,b и с – целые). Их отношение должно быть равно 11:

\frac{a\cdot 100 + b\cdot 10 +c\cdot 1}{a + b + c}=11\\\frac{100a + 10b +c}{a + b + c}=\frac{11}{1}
1·(100a + 10b + c) = 11·(a + b + c)
100a + 10b + c = 11a + 11b + 11c
100a + 10b + c – 11a – 11b – 11c = 0
89ab – 10c = 0
b = 89a – 10c

    Возьмём a = 1, c = 8, тогда:

b = 89·1 – 10·8 = 9

    Значит отношение равно 11, если взять число abc = 198, проверим:

\frac{198}{1 + 9 + 8}=11\\\frac{198}{18}=11\\11=11
верно

б) Нет, не может. Аналогично пункту а) распишем отношение равное 5:

\frac{a\cdot 100 + b\cdot 10 +c\cdot 1}{a + b + c}=5\\\frac{100a + 10b +c}{a + b + c}=\frac{5}{1}
1·(100a + 10b + c) = 5·(a + b + c)
100a + 10b + c = 5a + 5b + 5c
100a + 10b + c – 5a – 5b – 5c = 0
95a – 5b – 4c = 0
95a = 5b + 4c

    Переменная а может быть равна от 1 до 9, переменные b и с равны от 0 до 9
    В левой части уравнения можем получить следующие значения:

95·1 = 95
95·2 = 190
95·3 = 285
95·4 = 380
95·5 = 475
95·6 = 570
95·7 = 665
95·8 = 760
95·9 = 855

    В правой части уравнения можем получить, запишем по возрастанию:

5·9 + 4·0 = 45
5·0 + 4·9 = 36
5·9 + 4·9 = 81

    Максимальное значение в правой части 81, а минимальное в левой 95, значит отношение не может быть равно 5.

в) Число не делится на 100, значит одновременно b ≠ 0 и с ≠ 0. Аналогично пункту а) запишем отношение с первой цифрой (а) равной 7 и упростим:

\frac{7\cdot 100 + b\cdot 10 +c\cdot 1}{7 + b + c}=\frac{700 + b\cdot 10 +c}{7 + b + c}=\frac{693 + 7 + 9b + b +c}{7 + b + c}=\frac{(7 + b + c)+693 + 9b}{7 + b + c}=\frac{7 + b + c}{7 + b + c}+\frac{693 + 9b}{7 + b + c}=1+\frac{693 + 9b}{7 + b + c}=1+{\color{Blue} \frac{9\cdot (77 + b)}{7 + b + c}}

    Заметим, что бы дробь была наибольшей знаменатель 7 + b + c должен быть наименьшим. Т.к. числитель делится на 9 (3·3 = 9), то знаменатель должен делится хотя бы на 3.
    Наибольший знаменатель может быть равен (одновременно b ≠ 0 и с ≠ 0):

7 + 1 + 0 = 8

    Но он не делится на 3. Запишем знаменатели которые мы можем получить и которые делятся на 3:

9; 12; 15; 18; 21; 24

    1. Если знаменатель равен 9:

7 + b + c = 9
b + c = 2

    То возможны следующие случаи:

1.1. b = 2, c = 0 (2 + 0 = 2):
1+ \frac{9\cdot (77 + 2)}{7 + 2 + 0}=1+\frac{9\cdot 79}{9}=1+79 = {\color{Green} 80}
, целое число
1.2. b = 0, c = 2:
1+ \frac{9\cdot (77 + 0)}{7 + 0 + 2}=1+\frac{9\cdot 77}{9}=1+77={\color{Green} 78}
, целое число

1.3. b = 1, c = 1:
1+ \frac{9\cdot (77 + 1)}{7 + 1 + 1}=1+\frac{9\cdot 78}{9}=1+78={\color{Green} 79}
, целое число

    Выбираем наибольшее целое значение, отношения трёхзначного числа:

80 > 79
80 > 78

    Получается оно при цифрах: а = 7, b = 2, c = 0, и соответственно трёхзначном числе 720.

Ответ: а) да; б) нет; в) 80.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 4

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставь контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.