Решение №2582 Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр – целое число. а) Может ли это отношение быть равным 11?

Решение:

а) Да, может. Дано трёхзначное число аbc, которое можно записать как а·100 + b·10 + c·1 и сумма его чисел а + b + c (а,b и с – целые). Их отношение должно быть равно 11:

\frac{a\cdot 100 + b\cdot 10 +c\cdot 1}{a + b + c}=11\\\frac{100a + 10b +c}{a + b + c}=\frac{11}{1}
1·(100a + 10b + c) = 11·(a + b + c)
100a + 10b + c = 11a + 11b + 11c
100a + 10b + c – 11a – 11b – 11c = 0
89a – b – 10c = 0
b = 89a – 10c

    Возьмём a = 1, c = 8, тогда:

b = 89·1 – 10·8 = 9

    Значит отношение равно 11, если взять число abc = 198, проверим:

\frac{198}{1 + 9 + 8}=11\\\frac{198}{18}=11\\11=11
верно

б) Нет, не может. Аналогично пункту а) распишем отношение равное 5:

\frac{a\cdot 100 + b\cdot 10 +c\cdot 1}{a + b + c}=5\\\frac{100a + 10b +c}{a + b + c}=\frac{5}{1}
1·(100a + 10b + c) = 5·(a + b + c)
100a + 10b + c = 5a + 5b + 5c
100a + 10b + c – 5a – 5b – 5c = 0
95a + 5b – 4c = 0
95a + 5b = 4c

    Переменная а может быть равна от 1 до 9, переменные b и с равны от 0 до 9. 
    В правой части уравнения можем получить следующие значения:

4·0 = 0
4·1 = 4
4·2 = 8
4·3 = 12
4·4 = 16
4·5 = 20
4·6 = 24
4·7 = 28
4·8 = 32
4·9 = 36

    В левой части уравнения, возьём минимальные значения:

95·1 + 5·0 = 95

    Максимальное значение в правой части 36, а минимальное в левой 95, значит отношение не может быть равно 5.

в) Число не делится на 100, значит одновременно b ≠ 0 и с ≠ 0. Аналогично пункту а) запишем отношение с первой цифрой (а) равной 7 и упростим:

\frac{7\cdot 100 + b\cdot 10 +c\cdot 1}{7 + b + c}=\frac{700 + b\cdot 10 +c}{7 + b + c}=\frac{693 + 7 + 9b + b +c}{7 + b + c}=\frac{(7 + b + c)+693 + 9b}{7 + b + c}=\frac{7 + b + c}{7 + b + c}+\frac{693 + 9b}{7 + b + c}=1+\frac{693 + 9b}{7 + b + c}=1+{\color{Blue} \frac{9\cdot (77 + b)}{7 + b + c}}

    Заметим, что бы дробь была наибольшей знаменатель 7 + b + c должен быть наименьшим. Т.к. числитель делится на 9 (3·3 = 9), то знаменатель должен делится хотя бы на 3.
    Наибольший знаменатель может быть равен (одновременно b ≠ 0 и с ≠ 0):

7 + 1 + 0 = 8

    Но он не делится на 3. Запишем знаменатели которые мы можем получить и которые делятся на 3:

9; 12; 15; 18; 21; 24

    1. Если знаменатель равен 9:

7 + b + c = 9
b + c = 2

    То возможны следующие случаи:

1.1. b = 2, c = 0 (2 + 0 = 2):
1+ \frac{9\cdot (77 + 2)}{7 + 2 + 0}=1+\frac{9\cdot 79}{9}=1+79 = {\color{Green} 80}
∈, целое число
1.2. b = 0, c = 2:
1+ \frac{9\cdot (77 + 0)}{7 + 0 + 2}=1+\frac{9\cdot 77}{9}=1+77={\color{Green} 78}
∈, целое число

1.3. b = 1, c = 1:
1+ \frac{9\cdot (77 + 1)}{7 + 1 + 1}=1+\frac{9\cdot 78}{9}=1+78={\color{Green} 79}
∈, целое число

    Выбираем наибольшее целое значение, отношения трёхзначного числа:

80 > 79
80 > 78

    Получается оно при цифрах: а = 7, b = 2, c = 0, и соответственно трёхзначном числе 720.

Ответ: а) да; б) нет; в) 80.