Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел:
1, –2, –3, 4, –5, 7, –8, 9.
Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному из чисел:
1, –2, –3, 4, –5, 7, –8, 9.
После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Источники: fipi, os.fipi, Ященко 2020 (36 вар), Ященко 2020 (36 вар), Ященко 2020 (50 вар), Ященко 2020 (36 вар), Ященко 2020 (36 вар), Ященко 2018, Семёнов 2015.
Решение:
а) Нет, не может. Произведение равно 0, если хотя бы одна из сумм равна 0. Т.к. среди восьми данных чисел нет пары противоположных чисел, то и нет суммы равной 0.
б) Нет, не может. Сумма на каждой карточке должна быть равна 1 или на некотором чётном количестве карточек –1.
В наборе из 8 чисел: 5 нечётных и 3 чётных числа. Числа 1 и –1 нечётные, они получаются если складывать нечётное число с чётным числом. Т.к. в наборе нечётных чисел больше, то как минимум две суммы будут чётными (нечётное + нечётное), а значит не равными 1 по модулю.
в) Т.к. минимум две суммы будут чётными (наименьшее чётное это 2 по модулю), значит наименьшее произведение равно 4 по модулю.
Приведём пример:
9 + (–8) = 1
–8 + 9 = 1
7 + (–5) = 2
–5 + 7 = 2
4 + (–3) = 1
–3 + 4 = 1
–2 + 1 = –1
1 + (–2) = –1
Найдём произведение:
1·1·2·2·1·1·(–1)·(–1) = 4
Ответ: а) нет, б) нет, в) 4.