В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. В каждой школе тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?
в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Источники: os.fipi, Демо 2022, Демо 2021, Демо 2020, Демо 2019, Основная волна 2018.

Решение:

    а) Пусть в школе №1 писали тест 2 учащихся, один из них набрал 1 балл, а второй набрал 19 баллов и перешёл в школу №2.
    Тогда в школе №1 первоначальный средний балл был:

    После перехода 2-го учащегося средний балл в школе №1 стал:

    Средний балл уменьшился в:

blank раз

    б) Обозначим:
    а – первоначальное количество учеников в школе №1, может быть равно целому числу от 2 до 7. (в двух школах вместе 9 учащихся, минимум по 2 ученика в школе)
    b – первоначальный средний балл в школе №1, может быть положительным целым числом, не равным 0. (натуральное количество баллов ≠ 0)
    с – количество баллов за тест перешедшего ученика в школу №2, положительное целое число, не равное 0.
    Заполним таблицу:

 ПервоначальноПосле перехода ученика
Школа №1Школа №2Школа №1Школа №2
Число учениковa9 – aa – 110 – a
Средний баллb7blankblank
Сумма балловa·b(9 – a)·7a·b – c (9 – a)·7 + c

    Средний балл в обоих школах уменьшился на 10%, т.е. стал равен 90%. Получаем два уравнения, упростим второе:

1) blank

2) blank

blank

6,3·(10 – а) = 63 – 7а + с
63 – 6,3а = 63 – 7а + с
– 6,3а + 7а= с
0,7а = с

    Учитывая, что 2 ≤ а ≤ 7, решений в целых числах нет. Значит, первоначальный средний балл в школе № 2 не мог равняться 7.

    в) Используем те же переменные, что и в пункте б).
    dпервоначальный средний балл в школе №2, может быть положительным целым числом, не равным 0.
   
Заполним таблицу:

 ПервоначальноПосле перехода ученика
Школа №1Школа №2Школа №1Школа №2
Число учениковa9 – aa – 110 – a
Средний баллbdblankblank
Сумма балловa·b(9 – a)·da·b – c (9 – a)·d + c

    Необходимо найти наименьшее d. Получаем два уравнения:

1) blank2) blank
0,9ab – 0,9b = ab – c9d – 0,9ad = 9d – ad + c
ab – 0,9ab = c – 0,9b – 0,9ad + ad = c
0,1ab = c – 0,9b0,1ad = c
ab = 10c – 9bad = 10c
10c = ab + 9b10c = ad

    Приравняем уравнения, но помним, что ab + 9b и ad кратно 10.

ab + 9b = ad
b(a + 9) = ad

    Если d = 1, то а = 10 или 20 или 30 и т.д. (т.к. ad кратно 10), максимальное а = 7, решений нет.
    Если d = 2, то а = 5,

b(5 + 9) = 5·2
14b = 10
blank 
b – только целое, решений нет.

    Если d = 3, то ad не может быть кратно 10, решений нет.
    Если d = 4, то а = 5,

b(5 + 9) = 5·4
14b = 20blankb – только целое, решений нет.

    Если d = 5, то а = 2 или а = 4 или а = 6,

при а = 2:
b(2 + 9) = 2·5

11b = 10
blank

b – только целое, решений нет.

при а = 4:
b(4 + 9) = 4·5

13b = 20
blank

b – только целое, решений нет.

при а = 6:
b(6 + 9) = 6·5

15b = 30
blank

    Подходит d = 5, а = 6, b = 2 найдём с:

10c = ad
10с = 6·5
10с = 30
blank

    Приведём пример:
    Подставим значения в таблицу и посчитаем:

 ПервоначальноПосле перехода ученика
Школа №1Школа №2Школа №1Школа №2
Число учениковa = 69 – a = 3a – 1 = 510 – a = 4
Средний баллb = 2d = 5blank= 1,8
blank = 4,5
Сумма балловa·b = 12(9 – a)·d = 15a·b – c = 9 (9 – a)·d + c = 18

    Проверим, уменьшился ли средний балл в обоих школах на 10%, т.е. до 90%.
    Школа №1:

blank

    Школа №2:

blank

0,9 = 90% верно.

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.