В июле Максим планирует взять кредит в банке на некоторую сумму. Банк предложил Максиму два варианта кредитования.
1-й вариант:
– кредит предоставляется на 3 года;
– в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 20% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платеж должен погасить долг по кредиту полностью,
2-й вариант:
– кредит предоставляется на 2 года:
– в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 24 %;
– в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.
Когда Максим подсчитал, то выяснил, что по 1-му варианту кредитования ему придется выплачивать на 373 600 рублей больше, чем по 2-му варианту. Какую сумму Максим планирует взять в кредит?
Источник: Ященко ЕГЭ 2023 (36 вар)
Решение:
S – сумма взятого кредита;
20% = 0,2
100 + 20 = 120% = 1,2
х – величина равного платежа, каждые 3 года в 1-м варианте;
24% = 0,24
100 + 24 = 120% = 1,24
у – величина равного платежа, каждые 2 года во 2-м варианте;
Составим модель платежей 1-й варианта, т.к. долг по кредиту был выплачен полностью, значит он равен 0. Выразим х:
((S·1,2 – x)·1,2 – x)·1,2 – x = 0
S·1,23 – x·1,22 – x·1,2 – x = 0
S·1,728 – x·1,44 – x·2,2 = 0
S·1,728 – x·3,64 = 0
S·1,728 = x·3,64
x=\frac{S\cdot 1,728}{3,64}
Составим модель платежей 2-й варианта, т.к. долг по кредиту был выплачен полностью, значит он равен 0. Выразим y:
(S·1,24 – у)·1,24 – у = 0
S·1,242 – у·1,24 – у = 0
S·1,5376 – у·2,24 = 0
S·1,5376 = у·2,24
y=\frac{S\cdot 1,5376}{2,24}
Зная, что 3 платежа по 1-му варианту больше, чем 2 платежа по 2-му варианту на 373 600 рублей, получим уравнение:
3·х – 2·у = 373 600
Подставим значения х и у:
3\cdot \frac{S\cdot 1,728}{3,64}-2\cdot \frac{S\cdot 1,5376}{2,24}=373600\\\frac{3\cdot S\cdot 1,728}{3,64}-\frac{2\cdot S\cdot 1,5376}{2,24}=373600\\\frac{S\cdot 5,184}{3,64}-\frac{ S\cdot 1,5376}{1,12}=373600\\\frac{S\cdot 1,296}{0,91}-\frac{ S\cdot 0,3844}{0,28}=373600\\\frac{S\cdot 1296}{910}-\frac{ S\cdot 0,0961}{0,07}=373600\\\frac{S\cdot 648}{455}-\frac{ S\cdot 961}{700}=373600\\\frac{S\cdot 648\cdot 20–S\cdot 961\cdot 13}{9100}=373600\\\frac{S\cdot 12960–S\cdot 12493}{9100}=373600\\\frac{S\cdot 467}{9100}=373600\\S\cdot 467=9100\cdot 373600\:{\color{Blue} |: 467}\\S=9100\cdot 800=7280000
Ответ: 7 280 000 рублей.