В июле Борис планирует взять кредит в банке на некоторую сумму. Банк предложил Максиму два варианта кредитования.
1-й вариант:
– кредит предоставляется на 3 года;
– в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 10% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платеж должен погасить долг по кредиту полностью,
2-й вариант:
– кредит предоставляется на 2 года:
– в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 16% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.
Когда Борис подсчитал, то выяснил, что по 1-му варианту кредитования ему придется выплачивать на 353 740 рублей меньше, чем по 2-му варианту. Какую сумму Борис планирует взять в кредит?
Источник: Ященко ЕГЭ 2023 (36 вар)
Решение:
S – сумма взятого кредита;
10% = 0,1
100 + 10 = 110% = 1,1
х – величина равного платежа, каждые 3 года в 1-м варианте;
16% = 0,16
100 + 16 = 116% = 1,16
у – величина равного платежа, каждые 2 года во 2-м варианте;
Составим модель платежей 1-й варианта, т.к. долг по кредиту был выплачен полностью, значит он равен 0. Выразим х:
((S·1,1 – x)·1,1 – x)·1,1 – x = 0
S·1,13 – x·1,12 – x·1,1 – x = 0
S·1,331 – x·1,21 – x·1,1 – x = 0
S·1,331 – x·3,31 = 0
S·1,331 = x·3,31
x=\frac{S\cdot 1,331}{3,31}
Составим модель платежей 2-й варианта, т.к. долг по кредиту был выплачен полностью, значит он равен 0. Выразим y:
(S·1,16 – у)·1,16 – у = 0
S·1,162 – у·1,16 – у = 0
S·1,3456 – у·2,16 = 0
S·1,3456 = у·2,16
y=\frac{S\cdot 1,3456}{2,16}
Зная, что 3 платежа по 1-му варианту меньше, чем 2 платежа по 2-му варианту на 353 740 рублей, получим уравнение:
2·у – 3·х = 353 740
Подставим значения х и у:
2\cdot \frac{S\cdot 1,3456}{2,16}-3\cdot \frac{S\cdot 1,331}{3,31}=353 740\\\frac{2\cdot S\cdot 1,3456}{2,16}-\frac{3\cdot S\cdot 1,331}{3,31}=353 740\\\frac{S\cdot 1,3456}{1,08}-\frac{S\cdot 3,993}{3,31}=353 740\:{\color{Blue} |\cdot 3,31\cdot 1,08} \\S\cdot 1,3456\cdot 3,31-S\cdot 3,993\cdot 1,08=353 740\cdot 3,31\cdot 1,08\\S\cdot 4,453936-S\cdot 4,31244=353 740\cdot 3,31\cdot 1,08\\S\cdot 0,141496=1264549,752\\S=\frac{1264549,752}{0,141496}=8937000 \:рублей
Ответ: 8 937 000 рублей.