15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг будет возрастать на r % по сравнению с концом предыдущего месяца (r – целое число);
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– 15-го числа 15-го месяца долг должен быть равен 500 тысяч рублей;
– к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет составлять 1228 тысяч рублей.
Источник: fipi
Решение:
S = 1100 тыс. рублей, сумма взятого кредита;
Сумма выплат за 16 месяцев = 1228 тыс. рублей;
Остаток долга за 15-й месяц = 500 тыс. рублей;
х тыс. рублей – сумма на которую долг уменьшается каждый месяц с 1-го по 15-й;
r – ? % каждый месяц \frac{r}{100};
| Месяц | Долг начальный | % | Выплаты (1–15 месяцы: x + %; 16 месяц: остаток долга 500 тыс. рублей + %) | Остаток долга (долг начальный + % – выплата) |
| 1 | 1100 | 1100·\frac{r}{100} | x + 1100·\frac{r}{100} | 1100 – x |
| 2 | 1100 – x | (1100 – x)·\frac{r}{100} | x + (1100 – x)·\frac{r}{100} | 1100 – 2x |
| 3 | 1100 – 2x | (1100 – 2x)·\frac{r}{100} | x + (1100 – 2x)·\frac{r}{100} | 1100 – 3x |
| . . . | … | … | … | … |
| 15 | 1100 – 14x | (1100 – 14x)·\frac{r}{100} | x + (1100 – 14x)·\frac{r}{100} | 1100–15x=500 |
| 16 | 500 | 500·\frac{r}{100} | 500 + 500·\frac{r}{100} | 0 |
Складываем выплаты за все месяцы и упрощаем выражение:
x + 1100·\frac{r}{100} + x + (1100 – x)·\frac{r}{100} + x + (1100 – 2x)·\frac{r}{100} + … + x + (1100 – 14x)·\frac{r}{100} + 500 + 500·\frac{r}{100} = 15x + 500 + \frac{r}{100}·(1100 + 1100 – x + 1100 – 2x + … + 1100 – 14x + 500) = 15x + 500 + \frac{r}{100}·(15·1100 + 500 – \frac{x+14x}{2}\cdot 14) = 15x + 500 + \frac{r}{100}·(17000 – 105х)
Зная, что общая сумма выплат равна 1128 тыс. рублей и в таблице нашли, что ежемесячный платёж х = 40 тыс. рублей, получаем уравнение:
15x + 500 + \frac{r}{100}·(17000 – 105х) = 1228
15·40 + 500 + \frac{r}{100}·(17000 – 105·40) = 1228
1100 + \frac{r}{100}·12800 = 1228
1100 + 128r = 1228
128r = 1228 – 1100
128r = 128
r=\frac{128}{128} = 1%
Ответ: 1.