15-го декабря планируется взять кредит размером 600 тыс. рублей в банке на 26 месяцев. Условия возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца с 1-го по 25-й долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– к 15-му числу 26-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15-го числа 25-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 691 тысяч рублей?
Источник: Досрочная волна 2022
Решение:
S = 600 тыс. рублей, сумма взятого кредита;
% каждый месяц = 1% = 0,01;
Сумма выплат = 691 тыс. рублей;
х тыс. рублей – сумма на которую долг уменьшается каждый месяц с 1-го по 25-й;
Долг на конец 25-го месяца – ? тыс. рублей;
| Месяц | Долг начальный | % | Выплаты (1–25 месяцы: x + %; 26 месяц: остаток долга + %) | Остаток долга (долг начальный + % – выплата) |
| 1 | 600 | 0,01·600 = 6 | x + 6 | 600 – x |
| 2 | 600 – x | 0,01·(600 – x) = 6 – 0,01·x | x + 6 – 0,01·x = 0,99x + 6 | 600 – 2x |
| 3 | 600 – 2x | 0,01·(600 – 2x) = 6 – 0,02·x | x + 6 – 0,02·x = 0,98x + 6 | 600 – 3x |
| . . . | … | … | … | … |
| 25 | 600 – 24x | 0,01·(600 – 24x) = 6 – 0,24x | x + 6 – 0,24·x = 0,76x + 6 | 600 – 25x |
| 26 | 600 – 25x | 0,01·(600 – 25x) = 6 – 0,25x | 600 – 25x + 6 – 0,25x = 600 + 6 – 25,25x | 0 |
Складываем выплаты за все месяцы и упрощаем выражение:
(x + 6) + (0,99x + 6) + (0,98x + 6) + … + (0,76x + 6) + (600 + 6 – 25,25x) = 600 + 26·6 + \frac{x+0,76x}{2}\cdot 25 (используем формулу суммы арифметической прогрессии) – 25,25x = 756 + 22x – 25,25x = 756 – 3,25х
Зная, что общая сумма выплат 691 тыс. рублей, получаем уравнение:
756 – 3,25х = 691
– 3,25х = 691 – 756
– 3,25х = –65
х = \frac{-65}{-3,25} = 20 тыс. руб.
Найдём долг на конец 25-го месяца:
600 – 25x = 600 – 25·20 = 600 – 500 = 100 тыс. руб.
Ответ: 100 тыс. рублей.