15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банку 2466 тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку за последние 12 месяцев?
Источник: Ященко 2020 (10 вар), Ященко 2020 (14 вар), Ященко 2020 (36 вар), Ященко 2020 (50 вар), Ященко 2019 (14 вар), Ященко 2019 (50 вар), Ященко 2018 (20 вар), Ященко 2018 (30 вар), Ященко 2018 ( 36 вар).
Решение:
Обозначим:
S тыс. рублей – сумма кредита в банке на 24 месяца;
2% = 0,02 – процент на который возрастает долг каждый месяц.
Разберёмся сколько мы будем выплачивать каждый месяц.
«15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.»
Это означает, что каждый месяц мы должны выплачивать часть начального долга (S поделить на количество месяцев, т.е \frac{S}{24}) + начисленные % за этот месяц (0,02·долг). Задача на дифференцированный платёж.
Составим таблицу для первого года кредитования:
| Месяц | Долг | Платёж | Долг после платежа | |
| на 15 число месяца, до % | 1 число месяца, после % | |||
| 1 | S | S + 0,02·S | \frac{S}{24} + 0,02·S | S + 0,02·S – (\frac{S}{24} + 0,02·S) = \frac{23\cdot S}{24} |
| 2 | \frac{23\cdot S}{24} | \frac{23\cdot S}{24} + 0,02·\frac{23\cdot S}{24} | \frac{S}{24} + 0,02·\frac{23\cdot S}{24} | \frac{23\cdot S}{24} + 0,02·\frac{23\cdot S}{24} – (\frac{S}{24} + 0,02·\frac{23\cdot S}{24}) = \frac{22\cdot S}{24} |
| 3 | \frac{22\cdot S}{24} | \frac{22\cdot S}{24} + 0,02·\frac{22\cdot S}{24} | \frac{S}{24} + 0,02·\frac{22\cdot S}{24} | \frac{22\cdot S}{24} + 0,02·\frac{22\cdot S}{24} – (\frac{S}{24}+ 0,02·\frac{22\cdot S}{24}) =\frac{21\cdot S}{24} |
| … | … | … | … | … |
| 12 | \frac{13\cdot S}{24} | \frac{13\cdot S}{24} + 0,02·\frac{13\cdot S}{24} | \frac{S}{24} + 0,02·\frac{13\cdot S}{24} | \frac{13\cdot S}{24} + 0,02·\frac{13\cdot S}{24} – (\frac{S}{24}+ 0,02·\frac{13\cdot S}{24}) = \frac{12\cdot S}{24} |
Сложим все платежи за первый год:
\frac{S}{24}+ 0,02\cdot S+\frac{S}{24}+ 0,02·\frac{23\cdot S}{24}+\frac{S}{24}+0,02·\frac{22\cdot S}{24}+…+\frac{S}{24}+ 0,02·\frac{13\cdot S}{24}
Сложив все \frac{S}{24} получим ровно \frac{12S}{24}. А у % вынесем общий множитель по условию это равно 2466 тыс. рублей:
\frac{12S}{24}+ 0,02\cdot S\cdot (1+\frac{23}{24}+\frac{22}{24}+…+\frac{13}{24})=2466\\\frac{12S}{24}+ 0,02\cdot S\cdot \frac{222}{24}=2466\\\frac{S}{2}+ 0,02\cdot S\cdot \frac{111}{12}=2466{\color{Blue}| \cdot 12}\\6\cdot S+0,02\cdot S\cdot 111=2466\cdot 12{\color{Blue} |: 2}\\3\cdot S+0,01\cdot S\cdot 111=2466\cdot 6\\S(3+1,11)=14796\\4,11S=14796\\S=\frac{14796}{4,11}=3600тыс.руб.
Составим аналогично сумму платежей за последние 12 месяцев и зная S, найдём какую сумму необходимо было выплатить:
\frac{S}{24}+ 0,02\cdot \frac{12\cdot S}{24}+\frac{S}{24}+ 0,02·\frac{11\cdot S}{24}+\frac{S}{24}+0,02·\frac{10\cdot S}{24}+…+\frac{S}{24}+ 0,02·\frac{1\cdot S}{24}=\frac{12S}{24}+ 0,02\cdot S\cdot (\frac{12}{24}+\frac{11}{24}+\frac{10}{24}+…+\frac{1}{24})=\frac{S}{2}+0,02\cdot S\cdot \frac{78}{24}=\frac{3600}{2}+0,02\cdot 3600\cdot \frac{78}{24}=1800+234=2034тыс.руб.
Ответ: 2034 тыс. руб.