В параллелограмме ABCD угол А острый. На продолжениях сторон AD и CD за точку D выбраны точки М и N соответственно, причём AN = AD и CM = CD.

а) Докажите, что BN = BM.
б) Найдите MN, если АС = 5, sin∠BAD = blank.

Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)

Решение:

а) Доказать: BN = BM.

В параллелограмме ABCD угол А острый. На продолжениях сторон AD и CD за точку D выбраны точки М и N

    Рассмотрим ΔNAB и ΔBCM. В них по условию и как стороны параллелограмма AN= AD = BC, AB = CD = CM. Трапеции NABC (AN = BC) и ABCM (AB = CM) равнобедренные. Углы при верхних основаниях равны (как и при нижних), т.е. в трапеции NABC при основании AB ∠ANB = ∠ABC, в трапеции ABCM при основании BC ∠ABC = ∠BCM, отсюда ∠ANB = ∠BCM.
    Значит, ΔNAB = ΔBCM по двум сторонам и углу между ними. Тогда, равны и соответственные стороны BNBM этих треугольников.
    Что и требовалось доказать.
б) Найти MN, если АС = 5, sin∠BAD = blank.

В параллелограмме ABCD угол А острый. На продолжениях сторон AD и CD за точку D

    ABCM и NABC – равнобедренные трапеции, их диагонали равны:

BN = BM = AC = 5

    Выразим ∠NBM:

∠NBM = ∠CBA – ∠CBM – ∠NBA = ∠CBA – ∠CBM – ∠BMC = ∠CBA – (180 – ∠BCM) = ∠CBA – (180 – ∠СBA) = 2∠CBA – 180° = 2·(180° – ∠BAD) – 180° = 180° – 2∠BAD

    Найдём cos∠NBM:

cos∠NBM = cos(180° – 2∠BAD) = cos180°·cos(2∠BAD) + sin180°·sin(2∠BAD) = –1·cos(2∠BAD) + 0·sin(2∠BAD) = –cos(2∠BAD) = –(cos2∠BAD – sin2∠BAD) = sin2∠BAD – cos2∠BAD = sin2∠BAD – (1 – sin2∠BAD) = sin2∠BAD – 1 + sin2∠BAD = 2sin2∠BAD – 1 = 2·blank – 1 = blank – 1 = blankblank = blank

    В ΔNBM по теореме косинусов найдём MN:

MN2 = 52 + 52 – 2·5·5·blank

MN2 = 25 + 25 + 50·blank

MN2 = 50 + 50·blank

MN2 = 50·(1 + blank)

MN2 = 50·blank

MN2 = blank

blank

Ответ: б) blank.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 1

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.