Решение №2464 В параллелограмме ABCD угол А острый. На продолжениях сторон AD и CD за точку D выбраны точки М и N соответственно, причём AN = AD и CM = CD.

Решение:

а) Доказать: BN = BM.

    Рассмотрим ΔNAB и ΔBCM. В них по условию и как стороны параллелограмма AN = AD = BC, AB = CD = CM. Трапеции NABC (AN = BC) и ABCM (AB = CM) равнобедренные. Углы при верхних основаниях равны (как и при нижних), т.е. в трапеции NABC при основании AB ∠NAB = ∠ABC, в трапеции ABCM при основании BC ∠ABC = ∠BCM, отсюда ∠ANB = ∠BCM.

    Значит, ΔNAB = ΔBCM по двум сторонам и углу между ними. Тогда, равны и соответственные стороны BN = BM этих треугольников.
    Что и требовалось доказать.
б) Найти MN, если АС = 5, sin∠BAD = \frac{5}{13}.

    ABCM и NABC – равнобедренные трапеции, их диагонали равны:

BN = BM = AC = 5

    Выразим ∠NBM:

∠NBM = ∠CBA – ∠CBM – ∠NBA = ∠CBA – ∠CBM – ∠BMC = ∠CBA – (180 – ∠BCM) = ∠CBA – (180 – ∠СBA) = 2∠CBA – 180° = 2·(180° – ∠BAD) – 180° = 180° – 2∠BAD

    Найдём cos∠NBM:

cos∠NBM = cos(180° – 2∠BAD) = cos180°·cos(2∠BAD) + sin180°·sin(2∠BAD) = –1·cos(2∠BAD) + 0·sin(2∠BAD) = –cos(2∠BAD) = –(cos²∠BAD – sin²∠BAD) = sin²∠BAD – cos²∠BAD = sin²∠BAD – (1 – sin²∠BAD) = sin²∠BAD – 1 + sin²∠BAD = 2sin²∠BAD – 1 = 2·(\frac{5}{13})^{2} – 1 =\frac{2\cdot 25}{169} – 1 = \frac{50}{169}– \frac{169}{169}= –\frac{119}{169}

    В ΔNBM по теореме косинусов найдём MN:

MN² = 5² + 5² – 2·5·5·(-\frac{119}{169})
MN² = 25 + 25 + 50·\frac{119}{169}
MN² = 50 + 50·\frac{119}{169}
MN² = 50·(1 + \frac{119}{169})
MN² = 50·\frac{288}{169}
MN² = \frac{14400}{169}
MN=\sqrt{\frac{14400}{169}}=\frac{120}{13}

Ответ: б) \frac{120}{13}.