Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причем BC = CD = DE, а AC⊥BE. Точка K – пересечение прямых BE и AD.

а) Докажите, что прямая EC делит отрезок KD пополам.
б) Найдите площадь треугольника ABK, если AD = 4, DC = √3.

Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)

Решение:

    BC = CD = DE, AC⊥BE, K – точка пересечения BE и AD.
    Обозначим: T – точка пересечения АС и ВЕ, М – точка пересечения СЕ и DA.

Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причем BC = CD = DE, а AC⊥BE. Точка K – пересечение прямых BE и AD.

а) Доказать: DM = МK.

Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причем BC = CD = DE, а AC⊥BE. Точка K – пересечение прямых BE и AD.

    ∠BEC = ∠CAD = ∠CED = ∠ECD = ∠α – как вписанные углы окружности опирающиеся на равные дуги ‿BC = ‿CD = ‿DE (равны хорды стягивающие дуги).
    Т.к. AC⊥BE, то ∠ATK = 90°.
    Рассмотрим ΔATK и ΔMKE, в них ∠AKT = ∠MKE – вертикальные, ∠TAK = KEM – совпадающие с вписанными углами. Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит и третьи углы равны ∠ATK = ∠EMK = 90°.
    В ΔKED МE является медианой и высотой, значит треугольник равнобедренный, МE медиана, тогда DM = МK.
    Что и требовалось доказать.

б) AD = 4, DC = √3. Найти: SΔАВK.

Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причем BC = CD = DE, а AC⊥BE. Точка K – пересечение прямых BE и AD.

    В ΔАВK AT биссектриса (∠BAT = ∠TAK, как совпадающие с вписанными опирающимися на равные дуги) и высота (∠ATK = 90°), значит и медиана, треугольник равнобедренный, боковые стороны равны АВ = AK
    Площадь ΔАВТ будем искать как половину произведения его сторон на синус угла между ними:

S_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sin\angle C

    Прямая CE пересекает прямые BE и CD, образованные накрест лежащие углы равны ∠ECD = ∠СЕB (как вписанные опирающиеся на равные дуги), значит BE||CD. TC секущая к этим же прямым, накрест лежащие углы равны ∠BTC = ∠TCD = 90°.
    Треугольник ACD – прямоугольный (∠ACD = 90°) вписан в окружность, значит его гипотенуза является диаметром окружности D = 2R = AD = 3.
    По теореме синусов найдём sinα:

\frac{CD}{sin\angle CAD}=2R\\\frac{\sqrt{3}}{sin\alpha}=4\\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{4}

    Найдём cosα:

cos2α + sin2α = 1
cos\alpha=\sqrt{1-sin^{2}\alpha}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{4})^{2}}=\sqrt{1-\frac{3}{16}}=\sqrt{\frac{13}{16}}=\frac{\sqrt{13}}{4}

    Найдём sin∠BAK = sin (∠BAK = ∠BAT + ∠TAK = α + α = 2α):

sin2α = 2sinα·cosα
sin\angle BAK=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{\sqrt{13}}{4}=\frac{\sqrt{39}}{8}

    DC = DE = KE = √3. Из прямоугольного ΔKME найдём МK:

sin\alpha=\frac{MK}{KE}\\\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{MK}{\sqrt{3}}
4·MK = √3·√3
4·MK = 3
MK = \frac{3}{4}

    Найдём DK:

DK = 2·МK = 2·\frac{3}{4} =\frac{3}{2} = 1,5

    Найдём AK = AB:

AK = AB = AD – DK = 4 – 1,5 = 2,5

    Найдём площадь треугольника АВK:

S_{\Delta ABK}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AK\cdot sin\angle BAK=\frac{1}{2}\cdot 2,5\cdot 2,5\cdot \frac{\sqrt{39}}{8}=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{\sqrt{39}}{8}=\frac{25\sqrt{39}}{64}

Ответ: \frac{25\sqrt{39}}{64}.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.1 / 5. Количество оценок: 9

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставь контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.