Решение №2311 Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причем AE = ED = CD, а прямые AC и BE перпендикулярны.

Решение:

    AE = ED = CD, AC⊥BE, Т – точка пересечения АС и ВD.
    Обозначим: К – точка пересечения АС и ВЕ, М – точка пересечения СЕ и DT.

а) Доказать: DM = МТ.

    ∠ЕВD = ∠АСЕ = ∠ECD = ∠CED = ∠α – как вписанные углы окружности опирающиеся на равные дуги ‿ED = ‿AE = ‿CD (равны хорды стягивающие дуги).
    Т.к. AC⊥BE, то ∠ВКТ = 90°.
    Рассмотрим ΔКВТ и ΔТСМ, в них ∠КТВ = ∠СТМ – вертикальные, ∠КВТ = TCM – совпадающие с вписанными углами. Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит и третьи углы равны ∠ВКТ = ∠ТМС = 90°.
    В ΔТСD МС является медианой и высотой, значит треугольник равнобедренный, МС медиана, тогда DM = МТ.
    Что и требовалось доказать.

б) ВD = 6, АЕ = \sqrt{6}. Найти: S_ΔАВТ.

    В ΔАВТ ВК биссектриса (∠АВЕ = ∠КВТ, как совпадающие с вписанными опирающимися на равные дуги) и высота (∠ВКТ = 90°), значит и медиана, треугольник равнобедренный, боковые стороны равны АВ = ВТ. 
    Площадь ΔАВТ будем искать как половину произведения его сторон на синус угла между ними:

S_Δ = \frac{1}{2}·a·b·sin∠C

    Прямая ЕС пересекает прямые АС и ЕD, образованные накрест лежащие углы равны ∠АСЕ = ∠СЕD (как вписанные опирающиеся на равные дуги), значит АС||ED. КЕ секущая к этим же прямым, накрест лежащие углы равны ∠АКЕ = ∠КЕD = 90°.
    Треугольник ВЕD – прямоугольный (∠КЕD = 90°) вписан в окружность, значит его гипотенуза является диаметром окружности D = 2R = BD = 6.
    По теореме синусов найдём sinα:

\frac{AE}{\sin∠ABE }=2R \\ \frac{\sqrt{6}}{\sin \alpha }=6 \\ \sin \alpha =\frac{\sqrt{6}}{6}

    Найдём cosα:

cos²α + sin²α = 1

\cos \alpha =\sqrt{1-\sin ^{2}\alpha } \\ \cos \alpha =\sqrt{1-(\frac{\sqrt{6}}{6})^{2}}=\sqrt{1-\frac{6}{36}}=\sqrt{1-\frac{1}{6}}=\sqrt{\frac{5}{6}} 

    Найдём sin∠AВТ = sin2α (∠AВТ = ∠АВК + ∠КВТ = α + α = 2α):

sin2α = 2sinα·cosα

\sin \angle ABT=2\cdot \frac{\sqrt{6}}{6}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{5}}{3} 

    ТС = DC = AE = \sqrt{6}. Из прямоугольного ΔМТС найдём МТ:

\sin \alpha =\frac{MT}{TC}\\\frac{\sqrt{6}}{6}=\frac{MT}{\sqrt{6}}

6·MT = \sqrt{6}·\sqrt{6}
6·MT = 6
MT = 1

    Найдём DT:

DT = 2·МТ = 2·1 = 2

    Найдём ВТ = ВА:

ВТ = ВА = BD – DT = 6 – 2 = 4

    Найдём площадь треугольника АВТ:

S_{\Delta ABT}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BT\cdot \sin \angle ABT=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{8\sqrt{5}}{3}

Ответ: \frac{8\sqrt{5}}{3}.