17. Планиметрическая задача

Решение №2664 Точки A1, B1, С1 – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС.

Точки A1, B1, С1 – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС. а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников А1СВ1, А1ВС1 и В1АС1 пересекаются в одной точке. б) Известно, что АВ = АС = 17 и ВС = 16. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого – центры окружностей, описанных около треугольников А1СВ1, А1ВС1 и В1АС1.

Продолжить чтение Решение №2664 Точки A1, B1, С1 – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС.

Решение №2583 Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС.

Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС. а) Докажите, что треугольник АОВ прямоугольный. б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что АВ = CD, а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет 16/81 площади трапеции ABCD.

Продолжить чтение Решение №2583 Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС.

Решение №2566 Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС.

Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС. а) Докажите, что ∠AOB = ∠COD = 90°. б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что АВ = CD, а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет 12/49 площади трапеции ABCD.

Продолжить чтение Решение №2566 Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС.

Решение №2481 В параллелограмме ABCD тангенс угла А равен 1,5.

В параллелограмме ABCD тангенс угла А равен 1,5. На продолжениях сторон АВ и ВС параллелограмма за точку В выбраны точки N и М соответственно, причём BC = CN и АВ = AM. а) Докажите, что DN = DM. б) Найдите MN, если АС = √13.

Продолжить чтение Решение №2481 В параллелограмме ABCD тангенс угла А равен 1,5.

Решение №2464 В параллелограмме ABCD угол А острый. На продолжениях сторон AD и CD за точку D выбраны точки М и N соответственно, причём AN = AD и CM = CD.

В параллелограмме ABCD угол А острый. На продолжениях сторон AD и CD за точку D выбраны точки М и N соответственно, причём AN = AD и CM = CD. а) Докажите, что BN = BM. б) Найдите MN, если АС = 5, sin∠BAD = 5/13.

Продолжить чтение Решение №2464 В параллелограмме ABCD угол А острый. На продолжениях сторон AD и CD за точку D выбраны точки М и N соответственно, причём AN = AD и CM = CD.

Решение №2350 Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причем BC = CD = DE, а AC⊥BE.

Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причем BC = CD = DE, а AC⊥BE. Точка K – пересечение прямых BE и AD. а) Докажите, что прямая EC делит отрезок KD пополам. б) Найдите площадь треугольника ABK, если AD = 4, DC = √3.

Продолжить чтение Решение №2350 Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причем BC = CD = DE, а AC⊥BE.

Решение №2311 Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причем AE = ED = CD, а прямые AC и BE перпендикулярны.

Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причем AE = ED = CD, а прямые AC и BE перпендикулярны. Отрезки AC и BD пересекаются в точке T. а) Докажите, что прямая EC пересекает отрезок TB в его середине. б) Найдите площадь треугольника ABT, если BD = 6, АЕ = √6.

Продолжить чтение Решение №2311 Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причем AE = ED = CD, а прямые AC и BE перпендикулярны.

Решение №2031 В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1 , точки K и M − основания перпендикуляров, опущенных из точки B на прямые AA1 и CC1.

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1 , точки K и M − основания перпендикуляров, опущенных из точки B на прямые AA1 и CC1. а) Докажите, что MK ∥ AC. б) Найдите площадь треугольника KBM, если AC = 10, BC = 6, AB= 8.

Продолжить чтение Решение №2031 В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1 , точки K и M − основания перпендикуляров, опущенных из точки B на прямые AA1 и CC1.