Решение №2481 В параллелограмме ABCD тангенс угла А равен 1,5.

Решение:

а) Доказать: BN = BM.

    Рассмотрим ΔMAD и ΔDCN. В них по условию и как стороны параллелограмма AM = AB = DC, AD = CB = CN. Трапеции MADC (AM = DC) и ADCN (AD = CN) равнобедренные. Углы при верхних основаниях равны (как и при нижних), т.е. в трапеции MADC при основании AD ∠AMD = ∠ADC, в трапеции ADCN при основании DC ∠ADC = ∠DCN, отсюда ∠AMD = ∠DCN.
    Значит, ΔMAD = ΔDCN по двум сторонам и углу между ними. Тогда, равны и соответственные стороны BN = BM этих треугольников.
    Что и требовалось доказать.
б) Найти MN, если АС = √13, tg∠BAD = 1,5 = \frac{3}{2}.

    ABCN и MABC – равнобедренные трапеции, их диагонали равны:

DM = DN = AC = √13

    Зная tg∠BAD = \frac{3}{2}, выразим sin∠BAD.
    Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета (равен 3) к прилежащему катету (равен 2). По теореме Пифагора найдём гипотенузу:

\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}

    Синус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. 

sin∠BAD = \frac{3}{\sqrt{13}}

    Найдём cos∠NDM:

cos∠NDM = cos(180° – 2∠BAD) = cos180°·cos(2∠BAD) + sin180°·sin(2∠BAD) = –1·cos(2∠BAD) + 0·sin(2∠BAD) = –cos(2∠BAD) = –(cos²∠BAD – sin²∠BAD) = sin²∠BAD – cos²∠BAD = sin²∠BAD – (1 – sin²∠BAD) = sin²∠BAD – 1 + sin²∠BAD = 2sin²∠BAD – 1 = 2·(\frac{3}{\sqrt{13}})^{2} – 1 = \frac{2\cdot 9}{13} – 1 = \frac{18}{13} – \frac{13}{13} = \frac{5}{13}

    В ΔNDM по теореме косинусов найдём MN:

MN² = \sqrt{13}^{2} + \sqrt{13}^{2} – 2·\sqrt{13}\cdot \sqrt{13}\cdot \frac{5}{13}
MN² = 13 + 13 – 2·\frac{13\cdot 5}{13}
MN² = 26 – 10
MN² = 16
MN = √16 = 4 

Ответ: б) 4.