В параллелограмме ABCD тангенс угла А равен 1,5. На продолжениях сторон АВ и ВС параллелограмма за точку В выбраны точки N и М соответственно, причём BC = CN и АВ = AM.

а) Докажите, что DN = DM.
б) Найдите MN, если АС = √13.

Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)

Решение:

а) Доказать: BN = BM.

Решение №2481 В параллелограмме ABCD тангенс угла А равен 1,5.

    Рассмотрим ΔMAD и ΔDCN. В них по условию и как стороны параллелограмма AM= AB = DC, AD = CB = CN. Трапеции MADC (AM = DC) и ADCN (AD = CN) равнобедренные. Углы при верхних основаниях равны (как и при нижних), т.е. в трапеции MADC при основании AD ∠AMD = ∠ADC, в трапеции ADCN при основании DC ∠ADC = ∠DCN, отсюда ∠AMD = ∠DCN.
    Значит, ΔMAD = ΔDCN по двум сторонам и углу между ними. Тогда, равны и соответственные стороны BNBM этих треугольников.
    Что и требовалось доказать.
б) Найти MN, если АС = √13, tg∠BAD = 1,5 = blank.

Решение №2481 В параллелограмме ABCD тангенс угла А равен 1,5.

    ABCN и MABC – равнобедренные трапеции, их диагонали равны:

DM = DN = AC = √13

    Зная tg∠BAD = blank, выразим sin∠BAD.
    Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета (равен 3) к прилежащему катету (равен 2). По теореме Пифагора найдём гипотенузу:

blank

Решение №2481 В параллелограмме ABCD тангенс угла А равен 1,5.
    Синус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе

sin∠BAD = blank

    Найдём cos∠NDM:

cos∠NDM = cos(180° – 2∠BAD) = cos180°·cos(2∠BAD) + sin180°·sin(2∠BAD) = –1·cos(2∠BAD) + 0·sin(2∠BAD) = –cos(2∠BAD) = –(cos2∠BAD – sin2∠BAD) = sin2∠BAD – cos2∠BAD = sin2∠BAD – (1 – sin2∠BAD) = sin2∠BAD – 1 + sin2∠BAD = 2sin2∠BAD – 1 = 2·(blank)2 – 1 = blank – 1 = blankblank = blank

    В ΔNDM по теореме косинусов найдём MN:

MN2 = blank2 + blank2 – 2·blank·blank·blank

MN2 = 13 + 13 – 2·blank

MN2 = 26 – 10

MN2 = 16

MN = blank = 4 

Ответ: б) 4.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 0 / 5. Количество оценок: 0

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.