Точки A1, B1, С1 – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС.
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников А1СВ1, А1ВС1 и В1АС1 пересекаются в одной точке.
б) Известно, что АВ = АС = 17 и ВС = 16. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого – центры окружностей, описанных около треугольников А1СВ1, А1ВС1 и В1АС1.

Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)

Решение:

а) Пусть М – отличная от А1 точка пересечения окружностей (двух), описанных около треугольников ΔА1ВС1 и ΔA1CB1.

Точки A1, B1, С1 – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС.

    Четырёхугольник А1ВС1М вписан в окружность, поэтому сумма его противолежащих углов равна 180°, выразим ∠А1МС1:

∠А1МС1 = 180° – ∠В

    Аналогично для четырёхугольника А1СВ1М:

∠А1МВ1 = 180° – ∠С

    Найдём ∠В1МС1:

∠В1МС1 = 360° – (∠А1МС1 + ∠А1МВ1) = 360° – ( 180° – ∠В + 180° – ∠С) = 360° – 360° + ∠В + ∠С = ∠В + ∠С

    Сумма углов любого треугольника равна 180° (ΔАВС), тогда:

∠В1МС1 = ∠В + ∠С = 180° – ∠А

    Т.к. у четырёхугольника В1АС1М сумма противоположных углов равна 180° (∠А+ ∠В1МС1 = 180°, а значит и ∠АС1М + ∠АВ1М = 180°), значит он тоже вписанный в окружность.
    Следовательно, точка М лежит и на описанной окружности (третьей) треугольника ΔB1AC1. Значит все три окружности пересекаются в одной точке М.
    Что и требовалось доказать.

б) АВ = АС = 17, ВС = 16, найти r окружности вписанной в ΔО1О2О3, где О1, О2, О3 центры окружностей описанных около А1ВС1, А1СВ1 и В1АС1 соответственно:

Известно, что АВ = АС = 17 и ВС = 16. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого – центры окружностей

    Радиус окружности вписанной в ΔО1О2О3 можно найди по формуле:

r=\frac{2\cdot S_{\Delta O_{1}O_{2}O_{3}}}{P_{\Delta O_{1}O_{2}O_{3}}}

    По условию АВ = АС, тогда и АС1 = АВ1, значит ΔАС1В1 равнобедренныйАМ диаметр окружности описанной около равнобедренного треугольника. 
    Поэтому отрезок МВ1⊥АС (т.к. ΔАМВ1 вписанный опирающийся на диаметр, а значит прямоугольный), значит СМ тоже диаметр (т.к. ∠МВ1С = 90°) описанный около треугольника СВ1А1.
    ΔАМВ1 = ΔСМВ1 (МВ1 – общая, АВ1 = СВ1, ∠АВ1М = ∠СВ1М = 90°), тогда и соответствующие стороны равны, они же диаметры окружностей:

АМ = СМ

    Аналогично для диаметров АМ и ВМ, тогда:

АМ = СМ = ВМ

    Получаем три равнобедренных треугольника ΔАМВ, ΔАМС, ВМС, у которых точки О1, О2, О3 середины сторон (как центры окружностей на диаметрах), тогда О1О3, О1О2, О2О3 средние линии, они равны половине соответствующих оснований, найдём их:

O_{1}O_{3}=\frac{АВ}{2}=\frac{17}{2}=8,5\\O_{2}O_{3}=\frac{АС}{2}=\frac{17}{2}=8,5\\O_{1}O_{2}=\frac{ВС}{2}=\frac{16}{2}=8

    Найдём периметр ΔО1О2О3:

РΔ = О1О3 + О2О3 + О1О2 = 8,5 + 8,5 + 8 = 25

    По формуле Герона найдём площадь ΔО1О2О3. Полупериметр равен:

p=\frac{P_{\Delta}}{2}=\frac{25}{2}=12,5

    Площадь равна:

S_{\Delta O_{1}O_{2}O_{3}}=\sqrt{p(p-O_{1}O_{3})(p-O_{2}O_{3})(p-O_{1}O_{2})}=\sqrt{12,5(12,5-8,5)(12,5-8,5)(12,5-8)}=\sqrt{12,5\cdot 4\cdot 4\cdot 4,5}=\sqrt{900}=30

    Найдём искомый радиус r:

r=\frac{2\cdot S_{\Delta O_{1}O_{2}O_{3}}}{P_{\Delta O_{1}O_{2}O_{3}}}=\frac{2\cdot 30}{25}=\frac{2\cdot 6}{5}=\frac{12}{5}=2,4

Ответ: б) 2,4.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.6 / 5. Количество оценок: 11

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.