В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведены биссектрисы 𝐴𝐴1 и 𝐶𝐶1, точки 𝐾 и 𝑀 − основания перпендикуляров, опущенных из точки 𝐵 на прямые 𝐴𝐴1 и 𝐶𝐶1.

а) Докажите, что 𝑀𝐾 ∥ 𝐴𝐶.
б) Найдите площадь треугольника 𝐾𝐵𝑀, если 𝐴𝐶 = 10, 𝐵𝐶 = 6, 𝐴𝐵 = 8.

Источник: Гордин №16 2019, Ященко 2018 (10 вар), Ященко 2018 (30 вар).

Решение:

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведены биссектрисы 𝐴𝐴1 и 𝐶𝐶1, точки 𝐾 и 𝑀 − основания перпендикуляров, опущенных из точки 𝐵 на прямые 𝐴𝐴1 и 𝐶𝐶1.

    a) Продолжим ВК и ВМ до К1 и М1 – точек пересечения с АС.
    СК в ΔСВК1 является биссектрисой, высотой, а значит и медианой, тогда:

ВК = КК1

    АМ в ΔАВМ1 является биссектрисой, высотой, а значит и медианой, тогда:

ВМ = ММ1

    Значит, КМ средняя линяя ΔК1ВМ1, отсюда КМ || К1М1, т.к. К1М1∈АС, то КМ || АС.
    Что и требовалось доказать.
    б) ΔСВК1 и  ΔАВМ1 равнобедренные (пункт а), тогда боковые стороны равны ВС = СК1 = 6, АВ = АМ1 = 8. Найдём К1М1:

АК1 = АС – СК1 = 10 – 6 = 4
СМ1 = АС – АМ1 = 10 – 8 = 2
К1М1 = АС – АК1 – СМ1 = 10 – 4 – 2 = 4

    По свойству средней линии:

    Треугольник АВС прямоугольный его стороны 6, 8, 10 – увеличенный в два раза египетский треугольник (2·3, 2·4, 2·5). Найдём его высоту из прямого угла В:

blank

    Высота треугольника КВМ в два раза меньше:

blank

    Найдём площадь треугольника КВМ:

blank

Ответ: 2,4.