В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1, точки K и M − основания перпендикуляров, опущенных из точки B на прямые AA1 и CC1.

а) Докажите, что MK || AC.
б) Найдите площадь треугольника KBM, если AC = 10, BC = 6, AB = 8.

Источник: Ященко 2018 (10 вар), Ященко 2018 (30 вар).

Решение:

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведены биссектрисы 𝐴𝐴1 и 𝐶𝐶1, точки 𝐾 и 𝑀 − основания перпендикуляров, опущенных из точки 𝐵 на прямые 𝐴𝐴1 и 𝐶𝐶1.

    a) Продолжим ВК и ВМ до К1 и М1 – точек пересечения с АС.
    СК в ΔСВК1 является биссектрисой, высотой, а значит и медианой, тогда:

ВК = КК1

    АМ в ΔАВМ1 является биссектрисой, высотой, а значит и медианой, тогда:

ВМ = ММ1

    Значит, КМ средняя линяя ΔК1ВМ1, отсюда КМ || К1М1, т.к. К1М1∈АС, то КМ || АС.
    Что и требовалось доказать.
    б) ΔСВК1 и  ΔАВМ1 равнобедренные (пункт а), тогда боковые стороны равны ВС = СК1 = 6, АВ = АМ1 = 8. Найдём К1М1:

АК1 = АС – СК1 = 10 – 6 = 4
СМ1 = АС – АМ1 = 10 – 8 = 2
К1М1 = АС – АК1 – СМ1 = 10 – 4 – 2 = 4

    По свойству средней линии:

KM=\frac{K_{1}M_{1}}{2}=\frac{4}{2}=2

    Треугольник АВС прямоугольный его стороны 6, 8, 10 – увеличенный в два раза египетский треугольник (2·3, 2·4, 2·5). Найдём его высоту из прямого угла В:

h=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{8\cdot 6}{10}=4,8

    Высота треугольника КВМ в два раза меньше:

h_{1}=\frac{h}{2}=\frac{4,8}{2}=2,4

    Найдём площадь треугольника КВМ:

S_{\Delta KBM}=\frac{1}{2}\cdot KM\cdot h_{1}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2,4=2,4

Ответ: 2,4.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.8 / 5. Количество оценок: 5

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.