Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй – в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Источники: Демо 2022, Демо 2021, Демо 2020, Досрочная волна (Резерв) 2018, Демо 2019, Демо 2018, Демо 2017, Демо 2016, Демо 2015, Демо 2014

 Решение:

    а)

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

    ОА и QB радиусы к касательной АВ, значит ОА⊥АВ, QB⊥АВ, отсюда ОА||QB. Соединим центры окружностей ОQ, точка касания окружностей К∈ОQ.
    ОАВQ – прямоугольная трапеция. Треугольник АОК равнобедренный, т.к. АО = ОК, как радиусы, углы при основании равны, обозначим их как α, ∠ОАК = ∠АКО = α, зная, что сумма углов треугольника равна 180°, найдём третий угол треугольника:

∠АОК = 180° – α – α = 180° – 2α

    ∠АОК и ∠ВQО углы при боковой стороны трапеции их сумма равна 180°, найдём ∠ВQО:

∠ВQО = 180 – (180° – 2α) = 180 – 180° + 2α = 2α

    Треугольник КQB равнобедренный KQ = QB, как радиусы, углы при основании равны, найдём ∠QKB:

    Угол ОКQ развёрнутый он равен 180°, состоит из трёх углов, найдём ∠АКВ:

∠АКВ = 180° – α – (90 – α) = 180° – α – 90° + α = 90°

    ∠АКВ = 90°, тогда ∠АКD тоже равен 90°, как смежный ему. Треугольник АКD прямоугольный, вписанный в окружность, значит АD – диаметр окружности с центром О.
    ∠АКD = ∠ВКС = 90°, как вертикальные, тогда ΔСКВ прямоугольный вписанный в окружность с центром Q, значит ВС – диаметр.
    Т.к. радиусы ОА||QB, являющиеся частью диаметров АD и ВС, значит АD||ВС.
    Что и требовалось доказать.
    б) Проведём высоту QM прямоугольной трапеции, QM||AB, M∈DА.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

    QB = QK = 1, как радиусы меньшей окружности. ОК = ОА = 4, как радиусы большей окружности. Рассмотрим ΔОQM, он прямоугольный, ОQ = OK + KQ = 4 + 1 = 5, QB = MA = 1, как противоположные стороны прямоугольника. ОМ = ОА – МА = 4 – 1 = 3. Тогда MQ = 4, как сторона египетского треугольника (или по т.Пифагора). MQ = AB = 4, как противоположные стороны прямоугольника.
    ΔАКD подобен ΔВСК (∠АКD = ∠ВКС = 90°, ∠АDK = ∠KBC, как накрестлежащие углы) с коэффициентом подобия:

blank

    Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.

blank

    Обозначим SΔBCK как S, тогда:

blank

blank

SΔAKD = 16S

    ΔАКD подобен ΔАКB (АК высота в прямоугольном ΔВАD, делит его на два подобных треугольника) с коэффициентом подобия:

blank

blank

blank

blank

blank

    Найдём SΔАВС:

blank

    SΔАKB = 4S, SΔBCK = S, тогда SΔABC = SΔАKB + SΔBCK  = 4S + S = 5S:

4 = 5S

blank

SΔАKB = 4S = 4·0,8 = 3,2

Ответ: 3,2.