Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй – в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Источники: Демо 2022, Демо 2021, Демо 2020, Досрочная волна (Резерв) 2018, Демо 2019, Демо 2018, Демо 2017, Демо 2016, Демо 2015, Демо 2014
Решение:
а)
ОА и QB радиусы к касательной АВ, значит ОА⊥АВ, QB⊥АВ, отсюда ОА||QB. Соединим центры окружностей ОQ, точка касания окружностей К∈ОQ.
ОАВQ – прямоугольная трапеция. Треугольник АОК равнобедренный, т.к. АО = ОК, как радиусы, углы при основании равны, обозначим их как α, ∠ОАК = ∠АКО = α, зная, что сумма углов треугольника равна 180°, найдём третий угол треугольника:
∠АОК = 180° – α – α = 180° – 2α
∠АОК и ∠ВQО углы при боковой стороны трапеции их сумма равна 180°, найдём ∠ВQО:
∠ВQО = 180 – (180° – 2α) = 180 – 180° + 2α = 2α
Треугольник КQB равнобедренный KQ = QB, как радиусы, углы при основании равны, найдём ∠QKB:
\angle QKB=\frac{180°-2\alpha}{2}=\frac{2(90°-\alpha)}{2}=90°-\alpha
Угол ОКQ развёрнутый он равен 180°, состоит из трёх углов, найдём ∠АКВ:
∠АКВ = 180° – α – (90 – α) = 180° – α – 90° + α = 90°
∠АКВ = 90°, тогда ∠АКD тоже равен 90°, как смежный ему. Треугольник АКD прямоугольный, вписанный в окружность, значит АD – диаметр окружности с центром О.
∠АКD = ∠ВКС = 90°, как вертикальные, тогда ΔСКВ прямоугольный вписанный в окружность с центром Q, значит ВС – диаметр.
Т.к. радиусы ОА||QB, являющиеся частью диаметров АD и ВС, значит АD||ВС.
Что и требовалось доказать.
б) Проведём высоту QM прямоугольной трапеции, QM||AB, M∈DА.
QB = QK = 1, как радиусы меньшей окружности. ОК = ОА = 4, как радиусы большей окружности. Рассмотрим ΔОQM, он прямоугольный, ОQ = OK + KQ = 4 + 1 = 5, QB = MA = 1, как противоположные стороны прямоугольника. ОМ = ОА – МА = 4 – 1 = 3. Тогда MQ = 4, как сторона египетского треугольника (или по т. Пифагора). MQ = AB = 4, как противоположные стороны прямоугольника.
ΔАКD подобен ΔВСК (∠АКD = ∠ВКС = 90°, ∠АDK = ∠KBC, как накрест лежащие углы) с коэффициентом подобия:
k=\frac{DA}{CB}=\frac{4+4}{1+1}=\frac{8}{2}=4
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.
\frac{S_{\Delta AKD}}{S_{\Delta BCK}}=k^{2}
Обозначим SΔBCK как S, тогда:
\frac{S_{\Delta AKD}}{S}=4^{2}\\\frac{S_{\Delta AKD}}{S}=16
SΔAKD = 16S
ΔАКD подобен ΔАКB (АК высота в прямоугольном ΔВАD, делит его на два подобных треугольника) с коэффициентом подобия:
k=\frac{AD}{AB}=\frac{8}{4}=2\\\frac{S_{\Delta AKD}}{S_{\Delta AKB}}=k^{2}\\\frac{16S}{S_{\Delta AKB}}=2^{2}\\\frac{16S}{S_{\Delta AKB}}=4\\S_{\Delta AKB}=\frac{16S}{4}=4S
Найдём SΔАВС:
S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CB=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=4
SΔАKB = 4S, SΔBCK = S, тогда SΔABC = SΔАKB + SΔBCK = 4S + S = 5S:
4 = 5S
S=\frac{4}{5}=0,8
SΔАKB = 4S = 4·0,8 = 3,2
Ответ: 3,2.