Решение №2376 Найдите наименьшее значение функции y=(x-9)^2(x+4)-4 на отрезке [7;16].

Решение:

y = (x − 9)²·(x + 4) − 4 = (x² – 18x + 81)·(x + 4) − 4 = x³ – 18x² + 81x + 4x² – 72x + 324 – 4 = x³ – 14x² + 9x + 320

    Найдём производную функцию:

y′ = 3х² – 28х + 9

    Найдём нули функции:

3х² – 28х + 9 = 0
D = (–28)² – 4·3·9 = 676 = 26²
x_{1}=\frac{28+26}{2\cdot 3}=\frac{54}{6}=9\\x_{2}=\frac{28-26}{2\cdot 3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\:{\color{Blue} \notin [7;16]}

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

    Точка минимума х = 9, там и будет наименьшее значение функции:

y(9) = (9 − 9)²·(9 + 4) − 4 = 0·(9 + 4) − 4 = –4

Ответ: –4.