Решение №2377 Найдите наименьшее значение функции y=(x^2+441)/x на отрезке [2;32].

Найдите наименьшее значение функции y = $\frac{x^{2}+441}{x}$ на отрезке [2;32].

Источник: mathege

Решение:

𝑦 = $\frac{x^{2}+441}{x}$

Найдём производную функцию:

$y{}'=\frac{(x^{2}+441){}'x-(x^{2}+441)x{}'}{x^{2}}=\frac{2x\cdot x-x^{2}-441}{x^{2}}=\frac{2x^{2}-x^{2}-441}{x^{2}}=\\=\frac{x^{2}-441}{x^{2}}$

Найдём нули функции:

$\frac{x^{2}-441}{x^{2}}=0\: \: \: {\color{Blue} |\cdot x^{2}\neq 0}$
x² – 441 = 0
x² = 441
x₁ = +√441 = 21
x₂ = –√441 = –21 ∉ [2; 32]

Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

Точка минимума х = 21, там и будет наименьшее значение функции:

𝑦(21) = $\frac{21^{2}+441}{21}=\frac{441 + 441}{21}=\frac{882}{21}=42$

Ответ: 42.