В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = H0 − \sqrt{2gH_{0}}kt + \frac{g}{2}k2t2, где t – время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H0 = 20 м – начальная высота столба воды, k = \frac{1}{200} – отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а q – ускорение свободного падения (считайте q = 10 м/с2). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?
Источник: Ященко ЕГЭп 2024 (36 вар)
Решение:
H0 = 20 м
k = \frac{1}{200}
q = 10 м/с2
«Останется четверть первоначального объёма воды»: H = \frac{H_{0}}{4}=\frac{20}{4}=5 м
t – ?
Подставим все значения в формулу и найдём t:
H(t) = H0 − \sqrt{2gH_{0}}kt + \frac{g}{2}k2t2
5=20-\sqrt{2\cdot 10\cdot 20}\cdot \frac{1}{200}\cdot t+\frac{10}{2}\cdot (\frac{1}{200})^{2}\cdot t^{2}\\5=20-\sqrt{400}\cdot \frac{1}{200}\cdot t+5\cdot \frac{1}{40000}\cdot t^{2}\\0=20-5-20\cdot \frac{1}{200}\cdot t+ \frac{5}{40000}\cdot t^{2}\\0=15-\frac{1}{10}\cdot t+ \frac{1}{8000}\cdot t^{2}\:{\color{Blue} |\cdot 8000}\\ t^{2}-800t+120000=0
D = (–800)2 – 4·1·120000 = 160000 = 4002
x_{1}=\frac{800+400}{2\cdot 1}=\frac{1200}{2}=600\\x_{2}=\frac{800–400}{2\cdot 1}=\frac{400}{2}=200
Четверть первоначального объёма бака останется через 200 секунд, а через 600 секунд он будет давно пустой.
Ответ: 200.