В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = H0 − \sqrt{2gH_{0}}kt + \frac{g}{2}k2t2, где t – время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H0 = 5 м – начальная высота столба воды, k = \frac{1}{700} – отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а q – ускорение свободного падения (считайте q = 10 м/с2). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?
Источник: Ященко ЕГЭ 2024 (36 вар)
Решение:
H0 = 5 м
k = \frac{1}{700}
q = 10 м/с2
«Останется четверть первоначального объёма воды»: H = \frac{H_{0}}{4}=\frac{5}{4} м
t – ?
Подставим все значения в формулу и найдём t:
H(t) = H0 − \sqrt{2gH_{0}}kt + \frac{g}{2}k2t2
\frac{5}{4}=5-\sqrt{2\cdot 10\cdot 5}\cdot \frac{1}{700}\cdot t+\frac{10}{2}\cdot (\frac{1}{700})^{2}\cdot t^{2}\\\frac{5}{4}=5-\sqrt{100}\cdot \frac{1}{700}\cdot t+5\cdot \frac{1}{490000}\cdot t^{2}\\\frac{5}{4}=5-10\cdot \frac{1}{700}\cdot t+\frac{1}{98000}\cdot t^{2}\\1,25=5-\frac{1}{70}\cdot t+\frac{1}{98000}\cdot t^{2}\\\frac{1}{98000}\cdot t^{2}-\frac{1}{70}\cdot t+5-1,25=0\\\frac{1}{98000}\cdot t^{2}-\frac{1}{70}\cdot t+3,75=0\:{\color{Blue} |\cdot 98000}\\ t^{2}-1400 t+367500=0
D = (–1400)2 – 4·1·367500 = 490000 = 7002
x_{1}=\frac{1400+700}{2\cdot 1}=\frac{2100}{2}=1050\\x_{2}=\frac{1400–700}{2\cdot 1}=\frac{700}{2}=350
Четверть первоначального объёма бака останется через 350 секунд, а через 1050 секунд он будет давно пустой.
Ответ: 350.