Точка M – середина стороны AC равностороннего треугольника ABC. Точки P и R на отрезках AM и BC соответственно выбраны так, что AP = BR. Найдите сумму углов ARM, PBM и BMR.

Источник задания: XIII математическая олимпиада им. Л. Эйлера

Решение:

    Построим по условию ΔАВС и достроим в нём прямую PR (получим равнобедренную трапецию АВКР), и среднюю линию МК:

Точка M – середина стороны AC равностороннего треугольника ABC.

    Необходимо найти сумму углов:

∠ARM + ∠PBM + ∠BMR

    ∠ARM разобьём на два угла:

∠ARM = ∠ARP + ∠PRM

    ∠PRM = ∠RMK как накрест лежащие при PR||MK и секущей MR
    ∠ARP = ∠BAR как накрест лежащие при AB||PR и секущей AR
    ∠BAR = ∠BAO = ∠ABO, как углы при основании равнобедренного ΔАОВ (образованный диагоналями равнобедренной трапеции ABRP)
    Значит, ∠ARP = ∠ABO
    Тогда наша искомая сумма углов, принимает вид:

∠ARM + ∠PBM + ∠BMR = ∠ARP + ∠PRM + ∠PBM + ∠BMR = ∠ABO + ∠RMK + ∠PBM + ∠BMR = ∠АВМ + ∠BMK

    ∠АВМ = ∠BMK как накрест лежащие при AB||КМ и секущей ВМ   
    Рассмотрим ΔАВМ, в нём  ∠ВАМ = 60°, как угол равностороннего ΔАВС, ∠АМВ = 90°, т.к. ВМ это медиана и высота равностороннего ΔАВС, найдём ∠АВМ:

∠АВМ = 180° – ∠ВАМ – ∠АМВ = 180° – 60° – 90° = 30°

    Искомая сумма углов равна:

∠АВМ + ∠BMK = ∠АВМ + ∠АВМ = 30° + 30° = 60°

Ответ: 60.

Ещё одна задача из этой олимпиады здесь.