Натуральное число, большее 1000000, даёт одинаковые остатки при делении на 40 и на 125. Какая цифра может стоять у этого числа в разряде сотен?

Источник задания: XIII математическая олимпиада им. Л. Эйлера

Решение:

40 = 5·8
125 = 5·25

    Значит некоторое число а, должно делится без остатка на:

5·8·25 = 1 000

    Наше число а имеет вид:

а = 1 000·k + b

    Где k некий коэффициент, который делает число а большим 1 000 000 и принимает значения:

    А число b это одинаковый остаток от деления, который принимает значения от 1 до 39.  
    Число может быть, например, таким:

а = 1000·1234 + 39 = 1 234 039

    В разряде сотен стоит цифра 0, как и во всех других вариантах, это единственный разряд в котором будет всегда 0.

Ответ: 0.

Ещё одна задача из этой олимпиады здесь.