Натуральное число, большее 1000000, даёт одинаковые остатки при делении на 40 и на 125. Какая цифра может стоять у этого числа в разряде сотен?
Источник: XIII математическая олимпиада им. Л. Эйлера
Решение:
40 = 5·8
125 = 5·25
Значит некоторое число а, должно делится без остатка на:
5·8·25 = 1 000
Наше число а имеет вид:
а = 1 000·k + b
Где k некий коэффициент, который делает число а большим 1 000 000 и принимает значения:
k\ge \frac{1000000}{1000}\\k\ge 1000
А число b это одинаковый остаток от деления, который принимает значения от 1 до 39.
Число может быть, например, таким:
а = 1000·1234 + 39 = 1 234 039
В разряде сотен стоит цифра 0, как и во всех других вариантах, это единственный разряд в котором будет всегда 0.
Ответ: 0.
Ещё одна задача из этой олимпиады здесь.