Решение №805 Сторона квадрата АВCD равна 6.

Сторона квадрата АВCD равна 6. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ .

Решение:

Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ равно:

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot cos\angle BAC$

По условию $|\overrightarrow{AB}|$ = 6.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВС найдём $|\overrightarrow{AC}|$ :

АС²= АВ² + ВС²
АС² = 6²+ 6²= 2·36
АС = √(2·36) = 6√2
$|\overrightarrow{AC}|$ = 6√2

∠ВАС = 45°, т.к. в квадрате ∠А = 90° и диагональю делится пополам.
Тогда скалярное произведение векторов равно:

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot cos\angle BAC=6\cdot 6\sqrt{2}\cdot sin45°=36\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=36$

Ответ: 36.