В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5. Определите площадь треугольника.
Источник задания: alexlarin.net
Решение:
Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон.
Обозначим стороны 4х и 5х. По теореме Пифагора найдём х:
(5х)2 = (4х)2 + 92
25х2 = 16х2 + 81
9х2 = 81
х2 = 81/9 = 9
х = 3
Тогда второй катет прямоугольного треугольника равен:
4х = 4·3 = 12
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух его катетов:
S_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 9=6\cdot 9=54
Ответ: 54.