В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5. Определите площадь треугольника.

Источник задания: alexlarin.net

Решение:

В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5.

    Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон.
    Обозначим стороны 4х и 5х. По теореме Пифагора найдём х:

(5х)2 = (4х)2 + 92
25х2 = 16х2 + 81
9х2 = 81
х2 = 81/9 = 9
х = 3

    Тогда второй катет прямоугольного треугольника равен:

4х = 4·3 = 12

    Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух его катетов:

Ответ: 54.