Движение двух материальных точек вдоль одной прямой заданы уравнениями S1 = 4t2 + 2, S2 = 3t2 + 4t – 1, (S1, S2 – пройденный путь в метрах, t – время в секундах). Найдите скорости движения точек в те моменты, когда пройденные ими расстояния равны. В ответе укажите сумму всех полученных значений скоростей.

Источник задания: alexlarin.net

Решение:

    Найдём в какой момент времени их расстояния равны:

4t2 + 2 = 3t2 + 4t – 1
4t2 + 2 – 3t2 – 4t + 1 = 0
t2 – 4t + 3 = 0
По теореме Виета или через дискриминант: 
t1 = 1  t2 = 3

    Найдём уравнение скорости для первой материальной точки, это производная от расстояния S1:

v = S1′ = 8t

    Подставив время найдём скорости первой точки:

v(1) = 8·1 = 8
v(3) = 8·3 = 24

    Найдём уравнение скорости для второй материальной точки, это производная от расстояния S2:

v = S2′ = 6t + 4

    Подставив время найдём скорости второй точки:

v(1) = 6·1 + 4 = 10
v(3) = 6·3 + 4 = 22

    Сумма всех скоростей:

8 + 24 + 10 + 22 = 64

Ответ: 64.