Решение №177 В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите её объём.

 Решение:

    Объём пирамиды находится по формуле:

V=\frac{1}{3}S_{осн}h

    Объём данной правильной четырёхугольной пирамиды (в основании квадрат) находится вот так:

V_{SABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{\square ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot AB^{2}\cdot 2

    SO – высота, значит ΔASO прямоугольный, по теореме Пифагора найдём АО:

АО² + SO² = SA²
AO² + 2² = 4²
AO² + 4 = 16
AO² = 16 – 4
AO² = 12
AO = √12

    Диагональ квадрата АС в точке О делится пополам, значит АО = ОС, найдём АС:

АС = АО + ОС = АО + АО = 2АО = 2√12

    АВСD – квадрат, значит AB = BC и ΔАВС прямоугольный, по теореме Пифагора, найдём AB²:

AB² + BC² = AC²
AB² + AB² = (2√12)²
2AB² = 4·12 |:2
AB² = 2·12
AB² = 24
AB = √24

    Найдём объём искомой пирамиды:

V_{SABCD}=\frac{1}{3}\cdot AB^{2}\cdot 2=\frac{1}{3}\cdot 24\cdot 2=8\cdot 2=16

Ответ: 16.