Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45°. Найдите объем пирамиды.
Источник: mathege
Решение:
У правильной шестиугольной пирамиды в основании равносторонний шестиугольник. Один из катетов прямоугольного треугольника можно найти как радиус окружности вписанной в правильный шестиугольник:
r=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 4=2\sqrt{3}
Проведя высоту получаем прямоугольный треугольник с одним из углов равным 45°, сумма углов треугольника всегда 180°, найдём 3-й угол:
180° – 90° – 45° = 45°
Получается треугольник прямоугольный и равносторонний, значит его катет который является высотой пирамиды тоже равен 2√3.
Найдём объём пирамиды:
V=\frac{1}{3}\cdot S_{осн}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}\cdot a^{2}}{2}\cdot 2\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}\cdot 4^{2}}{2}\cdot 2\sqrt{3}=(\sqrt{3})^{2}\cdot 16=3\cdot 16=48
Ответ: 48.