Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?
Источник: mathege
Решение:
Все грани правильного тетраэдра являются равными равносторонними треугольниками, его объём можно найти как объём пирамиды:
V_{тетраэдр}=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{12}\cdot h
Если все рёбра увеличили в два раза, то они стали равны 2а, и высота тоже увеличится в два раза 2h, найдём увеличенный объём:
V_{увел.тетраэдр}=\frac{1}{3}\cdot \frac{(2a)^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot 2h=\frac{1}{3}\cdot \frac{4\cdot a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot 2\cdot h=8\cdot \frac{a^{2}\sqrt{3}}{12}\cdot h=8\cdot V_{тетраэдр}
Значит объём увеличится в 8 раз.
Ответ: 8.