Решение №3019 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1.

Решение:

    Рассмотрим прямоугольный ΔАС₁С, в нём катет СС₁ = 1, как ребро призмы, катет АС найдём из основания призмы – правильного шестиугольника:

    Если вокруг шестиугольника описать окружность и из её центра провести радиусы к вершинам шестиугольника, получим равносторонние треугольники со сторонами 1 и углами равными 60º.
    Рассмотрим ΔАОС в нём стороны АО = ОС = 1, а ∠АОС = 60º + 60º = 120º. По теореме косинусов найдём сторону АС:

АС² = АО² + ОС² – 2·АО·ОС·сos∠АОС
АС² = 1² + 1² – 2·1·1·сos120º
АС² = 2 – 2·(–½)
АС² = 2 + 1
АС² = 3
AC = √3

    Найдём тангенс ∠AC₁C. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

tg\angle AC_{1}C=\frac{AC}{CC_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}

    Из рисунка видно, что ∠AC₁C острый, следовательно:

∠AC₁C = arctg√3 = 60º

Ответ: 60.