Решение №4091 Найдите tg^2 a, если 5sin^2 a+13cos^2 a=6.

Решение:

    Из основного тригонометрического тождества выразим sin²α:

sin²α + cos²α = 1
sin²α = 1 – cos²α

    Подставим значение sin²α в выражение:

5sin²α + 13cos²α = 6
5·(1 – cos²α) + 13cos²α = 6
5 – 5cos²α + 13cos²α = 6
8cos²α = 6 – 5
8cos²α = 1
cos^{2}\alpha=\frac{1}{8}

    Найдём sin²α:

sin²α = 1 – \frac{1}{8}=\frac{8}{8}-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}

    Найдём значение искомого tg²α:

tg^{2}\alpha=(\frac{sin\alpha}{cos\alpha})^{2}=\frac{sin^{2}\alpha}{cos^{2}\alpha}=\frac{\frac{7}{8}}{\frac{1}{8}}=\frac{7\cdot 8}{8\cdot 1}=\frac{7}{1}=7

Ответ: 7.