Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки АМ = 4 и МВ = 9. Касательная к окружности, описанной около треугольника АВС, проходит через точку С и пересекает прямую АВ в точке D. Найдите СD.
Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)
Решение:
CM – биссектриса, то по свойству биссектрисы:
\frac{AM}{MB}=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{9}
Рассмотрим ΔDAC и ΔDBC, в них ∠D общий, вписанный ∠В равен половине дуги на которую опирается:
∠В = \frac{1}{2}‿АС
∠DCA угол между касательной и хордой, равен половине дуги заключённой между ними:
∠DCA = \frac{1}{2}‿АС
∠В = ∠DCA
ΔDAC ∼ ΔDBC подобны по двум углам, отсюда получаем отношение для сторон:
\frac{CD}{DB}=\frac{DA}{CD}=\frac{4}{9}
откуда:
CD2 = DB·DA
и
DB=\frac{9}{4}CD
Выразим DA:
DA = DB – AM – MB = DB – 4 – 9 = DB – 13 = \frac{9}{4}CD – 13
Всё подставим и найдём СD:
CD^{2}=\frac{9}{4}CD\cdot (\frac{9}{4}CD-13){\color{Blue} |:CD}\\CD=\frac{9}{4}\cdot (\frac{9}{4}CD-13)\\CD=\frac{81}{16}CD-\frac{117}{4}\\\frac{65}{16}CD=\frac{117}{4}\\CD=\frac{117}{4}:\frac{65}{16}=\frac{117\cdot 16}{4\cdot 65}=\frac{117\cdot 4}{1\cdot 65}=7,2
Ответ: 7,2.