В четырёхугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке O. Точка F принадлежит отрезку АС. Известно, что ВО = 19, DO = 16, АС = 24. Найдите АF, если площадь треугольника FСD в три раза меньше площади четырёхугольника АВСD.
Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)
Решение:
Площадь четырёхугольника АВСD c диагоналями АС = 24 и BD = BO + DO = 19 + 16 = 35, находится по формуле:
SАBCD = \frac{1}{2}·АC·BD·sinα = \frac{1}{2}·24·35·sinα = 420·sinα
(1) По условию задачи площадь ΔFCD равна:
SFCD = \frac{1}{3}·SАBCD = \frac{1}{3}·420·sinα = 140·sinα
Площадь ΔFCD можно вычислить по другой формуле:
SFCD = \frac{1}{2}·FC·DH
Из прямоугольного ΔВHO найдём DН:
sin\alpha=\frac{DH}{DO}\\sin\alpha=\frac{DH}{16}\\DH=16\cdot sin\alpha
(2) Подставим в формулу площади ΔFCD:
SFBC = \frac{1}{2}·FC·16·sinα = 8·FC·sinα
Прировняем две формулы (1) и (2), найдём FC:
140·sinα = 8·FC·sinα |:sinα
140 = 8·FC
FC=\frac{140}{8}=17,5
Найдём AF:
AF = AC – FC = 24 – 17,5 = 6,5
Ответ: 6,5.