В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки О до точки А и прямых AD и АС соответственно равны 25, 13 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)

Решение:

В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС.

    Параллелограмм АВСD делится диагональю АС на два равных треугольника. ΔАВС = ΔАDС, SABCD = 2·SABC
    Площадь треугольника можно найти по двум формулам:

S_{\Delta }=\frac{1}{2}ah=\frac{a+b+c}{2}\cdot R

    ОК = 7 – будет являться радиусом окружности и высотой к стороне АС, построим ещё два радиуса ОР и OL, которые будут являться высотами к BC  и AB.
    Отрезки ОР и ОН будут лежать на одной прямой НР (т.к. BC||AD, OP⊥BC, OH⊥AD), которая является высотой параллелограмма АВСD и высотой треугольника АВС к стороне ВС.
    Найдём высоту НР:

НР = ОР + ОН = 7 + 13 = 20

    Тогда площадь треугольника АВС по первой формуле равна:

S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot 20=10\cdot BC

    По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника найдём АК:

АК2 = АО2 – ОК2
АК2 = 252 – 72 = 576
АК = √576 = 24

    Если окружность вписана в треугольник, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны:

АК = AL = 24
BL = BP = x
CP = CK = y

    Отсюда стороны треугольника АВС равны:

АС = 24 + y
AB = 24 + x
BC = x + y

    Площадь треугольника по второй формуле равна:

S_{\Delta}=p\cdot R\\S_{ABC}=\frac{AC+AB+BC}{2}\cdot OK=\frac{24+y+24+x+x+y}{2}\cdot 7=\frac{2\cdot (24+x+y)}{2}\cdot 7=(24+x+y)\cdot 7=(24+BC)\cdot 7

    Приравняем оба выражения для нахождения площади:

10BC=(24+BC)\cdot 7\\10BC=7\cdot 24+7BC\\10BC-7BC=7\cdot 24\\3BC=7\cdot 24 {\color{Blue} |: 3}\\BC=7\cdot 8\\BC=56

    Найдём площадь параллелограмма АВСD:

SABCD = 2·SABC = 2·10·BC = 20·56 = 1120

Ответ: 1120.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4 / 5. Количество оценок: 1

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.