Точка N – середина стороны ВС ромба ABCD, а AN = DN. Докажите, что ромб ABCD является квадратом.
Источник: ОГЭ Ященко 2024 (36 вар.)
Решение:
АВСD – ромб, по определению его стороны равны АВ = ВС = СD = DA.
Рассмотрим ΔАВN и ΔDNC, в них АВ = CD – как стороны ромба, BN = NC, т.к. N – середина стороны ВС, AN = DN – по условию, тогда ΔАВN = ΔDNC по трём равным сторонам, значит и соответствующие углы равны: ∠В = ∠С.
Сумма углов ∠В и ∠С равна 180°, т.к. они односторонние при АВ||СD и секущей ВС. Зная, что они равны найдём чему равен каждый из них:
∠В = ∠С = 180°/2 = 90°
В ромбе противолежащие углы равны, получаем:
∠В = ∠D = 90°
∠C = ∠A = 90°
В четырёхугольнике ABCD все углы равны 90° и все стороны равны, значит он является квадратом.
Что и требовалось доказать.