Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 33, BC = 18 , CF:DF = 2:1.
Источник: statgrad
Решение:
Проведём диагональ BD трапеции ABCD, которая пересекает прямую EF в точке О:
По условию CF:DF = 2:1, пусть СF = 2x, а DF = 1x, тогда:
СD = CF + DF = 2x + 1x = 3x
Прямая ЕF||AD, ЕF||BC, значит сторону AB она делит в тех же отношениях:
BE = 2y
AE = 1y
AB = 3y
ΔBDC подобен ΔОFD по двум равным углам (∠D – общий, ∠BCD = ∠OFD – как соответственные при двух параллельных прямых и секущей). Из подобия сторон найдём ОF:
\frac{BC}{OF}=\frac{CD}{FD}\\\frac{18}{OF}=\frac{3x}{1x}\\\frac{18}{OF}=\frac{3}{1}\\OF=\frac{18\cdot 1}{3}=6
ΔABD подобен ΔEBO по двум равным углам (∠B – общий, ∠BAD = ∠BEO – как соответственные при двух параллельных прямых и секущей). Из подобия сторон найдём ОE:
\frac{AD}{OE}=\frac{AB}{BE}\\\frac{33}{OE}=\frac{3y}{2y}\\\frac{33}{OE}=\frac{3}{2}\\OE=\frac{33\cdot 2}{3}=22
Найдём EF:
EF = OF + OE = 6 + 22 = 28
Ответ: 28.