Даны различные натуральные числа, запись которых содержит цифры 1 и 6, либо только одну из этих цифр.
а) Может ли сумма всех чисел быть равной 173?
б) Может ли сумма всех чисел быть равной 109?
в) Какое наименьшее количество чисел могло быть, сумма которых равна 1021?
Решение:
Для начала, поймем какие натуральные числа нам даны:
1, 6, 11, 16, 61, 66
111, 116, 161, 166
611, 616, 661, 666 и т.д.
а) Да, сумма чисел может быть равной 173, например:
173 = 166 + 6 + 1
б) Нет, сумма не может быть равной 109. Сумму должны получить из чисел, которые меньше 109 (66, 61, 16, 6, 1).
Сложим два самых больших числа:
66 + 61 > 109
Значит возьмём одно из них и все оставшиеся числа:
66 + 16 + 6 + 1 < 109
61 + 16 + 6 + 1 < 109
в) Поочередно будем отнимать от необходимой суммы наибольшее возможное число:
1021 – 666 = 355
355 – 166 = 189
189 – 161 = 28
28 – 16 = 12
12 – 11 = 1
1 – 1 = 1
Получаем сумму из 6 чисел:
1021 = 666 + 166 + 161 + 16 + 11 + 1
Докажем, что нельзя использовать меньшее количество чисел для данной суммы.
Все числа, которые мы можем использовать заканчиваются на 1 или 6.
Остаток при делении таких чисел на 5 равен 1. При делении числа 1021 на 5 остаток тоже равен 1.
Значит, что бы получить 1 на конце числа 1021, нужно сложить либо 1 число, либо 6 чисел, либо 11 чисел и т.д. Суммы из любого другого количества данных чисел не могут дать на конце числа 1.
Ответ: а) да;
б) нет;
в) 6 чисел, 1021 = 666 + 166 + 161 + 16 + 11 + 1.