На доске написано единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например, если изначально было написано n = 12 единиц, то могла получиться, например, такая сумма:
1 + 11 + 11 + 111 + 11 + 1 + 1 = 147.
а) Могла ли сумма равняться 150, если n = 60?
б) Могла ли сумма равняться 150, если n = 80?
в) Чему могло равняться n, если полученная сумма чисел равна 150?
Решение:
а) Да, например, 10 раз по «11» и 40 раз по «1».
10·11 + 40·1 = 150
б) Нет. Обозначим:
«1» – х
«11» – y
«111» – z
Составим систему уравнений, по условию пункта б) :
\begin{cases} x + 2y + 3z = 80 \\ x + 11y + 111z = 150 \end{cases}
Отняв от второго уравнение первое получим:
x + 11y + 111z – x – 2y – 3z = 150 – 80
9y + 108z = 70
9·(y + 12z) = 70
Левая часть уравнения кратна 9, а правая нет. Получили противоречие. Уравнение не имеет целых решений.
в) Составим систему уравнений, по условию пункта в) :
