Дано трехзначное число A, сумма цифр которого равна S.
а) Может ли выполняться равенство A·S = 1105?
б) Может ли выполняться равенство A·S = 1106?
в) Какое наименьшее значение может принимать выражение A·S, если оно больше 1503?
Источник: Основная волна 2021.
Решение:
A – трёхзначное число abc = 100·a + 10·b + c. Может принимать значения от 100 до 999, 100 ≤ А ≤ 999.
S – сумма чисел трёхзначного числа: a + b + c. Может принимать значения от 1 + 0 + 0 = 1 до 9 + 9 + 9 = 27, 1 ≤ S ≤ 27.
а) А·S = 1105
Разложим 1105 на простые множители:
1105 = 5·13·17
Пусть S = 5, тогда А = 13·17 = 221. Проверим сумму цифр числа А:
2 + 2 + 1 = 5 = S
Верно, равенство А·S = 1105 выполняется, например, при А = 221.
б) A·S = 1106
Разложим 1106 на простые множители:
1106 = 2·7·79
S = 2, тогда A = 7·79 = 553, 5 + 5 + 3 ≠ 2;
S = 7, тогда A = 2·79 = 158, 1 + 5 + 8 ≠ 7;
S = 2·7 = 14, тогда A = 79 – не трёхзначное число.
Равенство A·S = 1106 выполнятся не может.
в) Первое значение после 1503 – это 1504, разложим на простые множители:
1504 = 2·2·2·2·2·47
S = 2, A = 2·2·2·2·47 = 752, 7 + 5 + 2 ≠ 2, не верно;
S = 2·2 = 4, A = 2·2·2·47 = 376, 3 + 7 + 6 ≠ 4, не верно;
S = 2·2·2 = 8, A = 2·2·47 = 188, 1 + 8 + 8 ≠ 8, не верно;
S = 2·2·2·2 = 16, A = 2·47 = 94, не трёхзначное число;
S = 2·2·2·2·2 = 32, ∉ S ≤ 27.
Разложим на простые множители 1505:
1505 = 5·7·43
S = 5, тогда A = 7·43 = 301. 3 + 0 + 1 ≠ 5.
S = 7, тогда A = 5·43 = 215. 2 + 1 + 5 ≠ 7.
Разложим на простые множители 1506:
1506 = 2·3·251
S = 2, A = 3·251 = 753, 7 + 5 + 3 ≠ 2, не верно;
S = 3, A = 2·251 = 502, 5 + 0 + 2 ≠ 3, не верно;
S = 2·3 = 6, A = 251, 2 + 5 + 1 ≠ 6, не верно;
Разложим на простые множители 1507:
1507 = 11·137
S = 11, A = 137, 1 + 3 + 7 = 11, верно.
Наименьшее значение выражения А·S большее 1503, это 1507.
Ответ: а) да;
б) нет;
в) 1507.