Дано трехзначное число 𝐴, сумма цифр которого равна 𝑆.

а) Может ли выполняться равенство 𝐴 · 𝑆 = 1105?
б) Может ли выполняться равенство 𝐴 · 𝑆 = 1106?
в) Какое наименьшее значение может принимать выражение 𝐴 · 𝑆, если оно больше 1503?

Решение:

    Aтрёхзначное число abc = 100·a + 10·b + c. Может принимать значения от 111 до 999. 111 ≤ А ≤ 999.
    S сумма чисел трёхзначного числа: a + b + c. Может принимать значения от 1 + 1 + 1 = 3 до 9 + 9 + 9 = 27. 3 ≤ S ≤ 27.

    а) А·S = 1105
    Разложим 1105 на простые множители

1105 = 5·13·17

    Пусть S = 5, тогда А = 13·17 = 221. Проверим сумму цифр числа А:

2 + 2 + 1 = 5 = S

    Верно, равенство А·S = 1105 выполняется, например, при А = 221.

    б) A·S = 1106

    Разложим 1106 на простые множители:

1106 = 2·7·79

    S не может быть равно 2 или 79, значит оно равно 2·7 = 14, тогда A равно 79, это не возможно, т.к. 111 ≤ А.

    Равенство A·S = 1106 выполнятся не может.

    в) Первое значение после 1503 – это 1504, разложим на простые множители:

1504 = 2·2·2·2·2·47

    Наименьшее А, может быть равно 2·2·47 = 188, тогда S = 2·2·2 = 8. 1 + 8 + 8 8 не верно.
    A, может быть равно 2·2·2·47 = 376, тогда S = 2·2 = 4. 3 + 7 + 6 4 не верно.
    A не может быть равно 2.

    Разложим на простые множители 1505:

1505 = 5·7·43

    S = 5, тогда A = 7·43 = 301. 3 + 0 + 1 5.
    S = 7, тогда A = 5·43 = 215. 2 + 1 + 5 7.

    Разложим на простые множители 1506:

1506 = 2·3·251

    S = 3, A = 2·251 111, не верно.
    S = 2·3 = 6, A = 251. 2 + 5 + 1 6, не верно.

    Разложим на простые множители 1507:

1507 = 11·137

    S = 11, A = 137. 1 + 3 + 7 = 11, верно.
    Наименьшее значение выражения А·S большее 1503, это 1507.

Ответ: а) да;
             б) нет;
             в) 1507.