В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1300 тыс. рублей. Условия возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2780 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2027 году?
Источник: Ященко ЕГЭп 2024 (36 вар)
Решение:
S = 1300 тыс. рублей, сумма взятого кредита;
% = 20% = 0,2;
x – величина на которую уменьшается долг первые 5 лет;
у – величина на которую уменьшается долг следующие 5 лет;
S = 5x + 5y = 1300 тыс. рублей;
Сумма всех платежей = 2780 тыс. рублей.
| Год | Долг начальный | % (январь) | Платёж (x или y + %) (февраль – июнь) | Долг конечный (долг начальный + % – платёж) (июль) |
| 2026 | 5x + 5y | – | – | – |
| 2027 | 5x + 5y | 5x + 5y + 0,2(5x + 5y) | x + 0,2(5x + 5y) | 5x + 5y + 0,2(5x + 5y) – (x + 0,2(5x + 5y)) = 4x + 5y |
| 2028 | 4x + 5y | 4x + 5y + 0,2(4x + 5y) | x + 0,2(4x + 5y) | 4x + 5y + 0,2(4x + 5y) – (x + 0,2(4x + 5y)) = 3x + 5y |
| 2029 | 3x + 5y | 3x + 5y + 0,2(3x + 5y) | x + 0,2(3x + 5y) | 3x + 5y + 0,2(3x + 5y) – (x + 0,2(3x + 5y)) = 2x + 5y |
| 2030 | 2x + 5y | 2x + 5y + 0,2(2x + 5y) | x + 0,2(2x + 5y) | 2x + 5y + 0,2(2x + 5y) – (x + 0,2(2x + 5y)) = x + 5y |
| 2031 | x + 5y | x + 5y + 0,2(x + 5y) | x + 0,2(x + 5y) | x + 5y + 0,2(x + 5y) – (x + 0,2(x + 5y)) = 5y |
| 2032 | 5y | 5y + 0,2·5y | y + 0,2·5y | 5y + 0,2·5y – (y + 0,2·5y) = 4y |
| 2033 | 4y | 4y + 0,2·4y | y + 0,2·4y | 4y + 0,2·4y – (y + 0,2·4y) = 3y |
| 2034 | 3y | 3y + 0,2·3y | y + 0,2·3y | 3y + 0,2·3y – (y + 0,2·3y) = 2y |
| 2035 | 2y | 2y + 0,2·2y | y + 0,2·2y | 2y + 0,2·2y – (y + 0,2·2y) = y |
| 2036 | y | y + 0,2·y | y + 0,2·y | y + 0,2·y – (y + 0,2·y) = 0 |
Складываем все платежи и упрощаем выражение:
x + 0,2(5x + 5y) + x + 0,2(4x + 5y) + x + 0,2(3x + 5y) + x + 0,2(2x + 5y) + x + 0,2(x + 5y) + y + 0,2·5y + y + 0,2·4y + y + 0,2·3y + y + 0,2·2y + y + 0,2·y = 5x + 5y + 0,2(5x + 5y + 4x + 5y + 3x + 5y + 2x + 5y + x + 5y + 5y + 4y + 3y + 2y + y) = 5x + 5y + 0,2(15x + 40y)
По условию сумма всех платежей равна 2780 тыс. рублей:
5x + 5y + 0,2·(15x + 40y) = 2780
Знаем, что 5x + 5y = 1300, подставим и получим:
5x + 5y + 0,2(15x + 40y) = 2780
1300 + 0,2(3·(5x + 5y) + 25y) = 2780
1300 + 0,2(3·1300 + 25y) = 2780
0,2(3·1300 + 25y) = 2780 – 1300
0,2(3·1300 + 25y) = 2780 – 1300
780 + 5y = 1480
5y = 1480 – 780
5y = 700
y = 700/5 = 140 тыс. рублей
Найдём х:
5x + 5y = 1300 |:5
х + y = 260
x + 140 = 260
x = 260 – 140 = 120 тыс. рублей
Найдём сумму платежа за 2027 год:
x + 0,2(5x + 5y) = 120 + 0,2·1300 = 120 + 260 = 380 тыс. рублей
Ответ: 380 тыс. рублей