По бизнес-плану вкладчик предполагает вложить в четырёхлетний проект целое число млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов требуются дополнительные вложения: по 10 млн рублей в первый и второй годы, а также по 15 млн в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором общая сумма средств вкладчика к началу третьего года станет больше 140 млн, а к концу проекта – больше 220 млн рублей.
Источник: statgrad
Решение:
S млн. руб. – целое число, первоначальный вклад;
20% – увеличение вклада;
100% + 20% = 120% – сумма вклада на конец года;
1-й год:
S·1,2 + 10
2-й год:
(S·1,2 + 10)·1,2 + 10
3-й год:
((S·1,2 + 10)·1,2 + 10)·1,2 + 15
4-й год:
(((S·1,2 + 10)·1,2 + 10)·1,2 + 15)·1,2 + 15
Через два года (к началу третьего) вклад должен быть больше 140 млн. рублей:
(S·1,2 + 10)·1,2 + 10 > 140
S·1,22 + 12 + 10 > 140
S·1,22 > 118
S·1,44 > 118
S>\frac{118}{1,44}>81,95
К концу проекта вклад должен быть больше 220 млн. рублей:
(((S·1,2 + 10)·1,2 + 10)·1,2 + 15)·1,2 + 15 > 220
((S·1,2 + 10)·1,2 + 10)·1,22 + 18 + 15 > 220
(S·1,2 + 10)·1,23 + 14,4 + 18 + 15 > 220
S·1,24 + 17,28 + 14,4 + 18 + 15 > 220
S·1,24 + 64,68 > 220
S·1,24 > 155,32
S·2,0736 > 155,32
S>\frac{155,32}{2,0736}>74,9
Наименьший целый первоначальный размер вложений, удовлетворяющий оба неравенства, равен 82 млн. руб.
Ответ: 82 млн. руб.