Производство х тыс. единиц продукции обходится в q = 2х2 + 5х + 10 млн рублей в год. При цене р тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет рхq. При каком наименьшем значении р через 12 лет суммарная прибыль может составить не менее 744 млн рублей при некотором значении х?

Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)

Решение:

    Подставим значение q, запишем чему равна годовая прибыль

f(х) = рхq = рх – (2х2 + 5х + 10) = рх – 2х25х – 10 = –2х2 + (p – 5)х – 10

    График данной функции – парабола ветви направлены вниз, наибольшее значение функции и точка максимума, будет в вершине параболы, а значит и максимальная годовая прибыль будет в этой точке.
    По формуле вершины параболы найдём значение х вершины параболы:

x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(p-5)}{2\cdot (-2)}=\frac{p-5}{4}

    При данном значении х, достигается наибольшая прибыль за один год, найдём её:

f(\frac{p-5}{4})=-2(\frac{p-5}{4})^{2} + (p – 5)(\frac{p-5}{4}) – 10=-\frac{(p-5)^{2}}{8}+\frac{(p-5)^{2}}{4}-10=\frac{-(p-5)^{2}+2(p-5)^{2}}{8}-10=\frac{(p-5)^{2}}{8}-10

    Найдём наименьшее значение р через 12 лет, при суммарной прибыли не менее 744 млн. рублей:

12\cdot (\frac{(p-5)^{2}}{8}-10)\ge 744\\\frac{12(p-5)^{2}}{8}-120\ge 744\\1,5(p-5)^{2}-120-744\ge 0
1,5р2 –15р + 37,5 – 864 ≥ 0
1,5р2 –15р – 826,5 ≥ 0  |:1,5
р2 –10р – 551 ≥ 0

    Решим методом интервалов:

р2 –10р – 551 = 0
D = (–10)2 – 4·1·(–551) = 100 + 2204 = 2304 = 482
x_{1}=\frac{10-48}{2\cdot 1}=\frac{-38}{2}=-19
x_{1}=\frac{10+48}{2\cdot 1}=\frac{58}{2}=29

Решение №2659 Производство х тыс. единиц продукции обходится в q = 2х^2 + 5х + 10 млн рублей в год.

р ∈ (–∞; –19] ∪ [29; +∞)

    Наименьшее подходящее (р ≥ 0 т.к. это тыс. рублей) значение р равно 29.

Ответ: 29.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.9 / 5. Количество оценок: 31

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставь контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.