Производство х тыс. единиц продукции обходится в q = 2х2 + 5х + 10 млн рублей в год. При цене р тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет рх – q. При каком наименьшем значении р через 12 лет суммарная прибыль может составить не менее 744 млн рублей при некотором значении х?
Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)
Решение:
Подставим значение q, запишем чему равна годовая прибыль:
f(х) = рх – q = рх – (2х2 + 5х + 10) = рх – 2х2 – 5х – 10 = –2х2 + (p – 5)х – 10
График данной функции – парабола ветви направлены вниз, наибольшее значение функции и точка максимума, будет в вершине параболы, а значит и максимальная годовая прибыль будет в этой точке.
По формуле вершины параболы найдём значение х вершины параболы:
x=\frac{–b}{2a}=\frac{–(p–5)}{2\cdot (–2)}=\frac{p–5}{4}
При данном значении х, достигается наибольшая прибыль за один год, найдём её:
f(\frac{p–5}{4})=-2(\frac{p–5}{4})^{2} + (p – 5)(\frac{p–5}{4}) – 10=-\frac{(p–5)^{2}}{8}+\frac{(p–5)^{2}}{4}-10=\frac{–(p–5)^{2}+2(p–5)^{2}}{8}-10=\frac{(p–5)^{2}}{8}-10
Найдём наименьшее значение р через 12 лет, при суммарной прибыли не менее 744 млн. рублей:
12\cdot (\frac{(p–5)^{2}}{8}-10)\ge 744\\\frac{12(p–5)^{2}}{8}-120\ge 744\\1,5(p–5)^{2}-120-744\ge 0
1,5р2 –15р + 37,5 – 864 ≥ 0
1,5р2 –15р – 826,5 ≥ 0 |:1,5
р2 –10р – 551 ≥ 0
Решим методом интервалов:
р2 –10р – 551 = 0
D = (–10)2 – 4·1·(–551) = 100 + 2204 = 2304 = 482
p_{1}=\frac{10–48}{2\cdot 1}=\frac{–38}{2}=-19
p_{2}=\frac{10+48}{2\cdot 1}=\frac{58}{2}=29
р ∈ (–∞; –19] ∪ [29; +∞)
Наименьшее подходящее (р ≥ 0 т.к. это тыс. рублей) значение р равно 29.
Ответ: 29.