Центральный угол опирается на хорду АВ длиной 10. При этом угол АОВ равен 60° (см. рис. 18). Найдите радиус окружности.

Центральный угол опирается на хорду АВ длиной 10.

Источник: ОГЭ Лысенко 2022 (40 вар)

Решение:
Способ №1

    ОA = ОВ – как радиусы окружности, значит ΔАОВ равнобедренный, углы при основании равны, зная, что ∠АОВ = 60°, найдём чему равны оставшиеся два угла треугольника (сумма углов любого треугольника равна 180°):

∠A=∠B=\frac{180°–∠AOB}{2}=\frac{180°–60°}{2}=\frac{120°}{2}=\color{DarkOrange} 60°

Центральный угол опирается на хорду АВ длиной 10.

    Все углы в треугольнике равны 60°, значит ΔАOB равносторонний, все стороны в нём равны:

AB = OA = OB = 10

    Т.к. ОА и ОB это радиусы, значит r = 10.

Ответ: 10.

Решение:
Способ №2

    ΔАОВ равнобедренный, т.к. боковые стороны являются радиусами окружности и равны ОА = ОВ.
    Проведём высоту ОН, которая будет являться медианой и биссектрисой:

Центральный угол опирается на хорду АВ длиной 10.

∠АОН = ∠ВОН = ∠АОВ/2 =  60°/2 = 30°
АН = НВ = АВ/2 = 10/2 = 5

    В прямоугольном ΔАОН через синус ∠АОН найдём радиус ОА.
    Синус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin\angle AOH=\frac{AH}{OA} \\sin\, 30^{\circ}=\frac{5}{r}\\\frac{1}{2}=\frac{5}{r}\\r=2\cdot 5=10

Ответ: 10.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.5 / 5. Количество оценок: 12

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.