Хорды АС и ВD окружности пересекаются в точке Р, ВР = 9, СР = 15, DР = 20. Найдите АР.
Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)
Cпособ 1
Решение:
Треугольники ΔАPB и ΔDPC подобны по двум равным углам (∠APB = ∠DPC – как вертикальные, ∠ABP = ∠DCP – как совпадающие с вписанными опирающимися на одну и туже дугу ‿AD). В подобных треугольниках, соответствующие стороны пропорциональны:
\frac{BP}{CP}=\frac{AP}{DP}
BP·DP = CP·AP
9·20 = 15·AP
180 = 15·AP
AP = 180/15 = 12
Ответ: 12.
Cпособ 2
Решение:
Если две хорды (АС и BD) окружности пересекаются (в точке Р), то произведение отрезков одной хорды (DP·BP) равно произведению отрезков второй хорды (AP·CP):
DP·BP = AP·CP
20·9 = AP·15
180 = AP·15
AP = 180/15 = 12
Ответ: 12.