Решение №716 Найдите точку максимума функции y=ln(x+4)^2+2x+7

Решение:

y = ln(x + 4)² + 2x + 7

    Найдем производную функции:

y^{′}=(ln(x+4)^{2})^{′}+(2x)^{′}+7^{′}=\frac{1}{(x+4)^{2}}\cdot ((x+4)^{2})^{′}+2+0=\frac{2\cdot (x+4)}{(x+4)^{2}}+2=\frac{2x+8+2\cdot (x+4)^{2} }{(x+4)^{2}}=\frac{2x+8+2\cdot (x^{2}+8x+16) }{(x+4)^{2}}=\frac{2x+8+2x^{2}+16x+32}{(x+4)^{2}}=\frac{2x^{2}+18x+40}{(x+4)^{2}}

    Найдем нули производной:

\frac{2x^{2}+18x+40}{(x+4)^{2}}=0{\color{Blue} |\cdot (x+4)^{2},(x+4)^{2}≠0,x≠-4} \\2x^{2}+18x+40=0{\color{Blue} |: 2}\\x^{2}+9x+20=0

D = 9² – 4·20 = 81 – 80 = 1 = 1²
x_{1}=\frac{–9+1}{2\cdot 1}=\frac{–8}{2}=–4{\color{Blue} \:∉ \:x≠–4}\\x_{2}=\frac{–9–1}{2\cdot 1}=\frac{–10}{2}=–5

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

    Точка максимума: х = –5.

Ответ: –5.