Решение №4133 Найдите наименьшее значение функции y = 2x – ln(x + 4)2 на отрезке [-3,5; 0].

Решение:

y = 2x − ln(x + 4)²

    Найдем производную функции:

y^{′}=2 – \frac{1}{(x+4)^{2}}\cdot ((x+4)^{2})^{′}=2 – \frac{1}{(x+4)^{2}}\cdot 2\cdot (x+4)\cdot (x+4)^{′}=2 – \frac{1}{(x+4)^{2}}\cdot 2\cdot (x+4)\cdot 1=2 – \frac{2\cdot (x+4)}{(x+4)^{2}}=2–\frac{2}{x+4}

    Найдем нули производной:

2–\frac{2}{x+4}=0\\–\frac{2}{x+4}=-2\:{\color{Blue} |\cdot (-1)} \\\frac{2}{x+4}=\frac{2}{1}\\2\cdot 1=(x+4)\cdot 2\\2=2x+8\\2-8=2x\\-6=2x\\x=\frac{-6}{2}=-3\\\color{Blue} x+4\neq 0\\\color{Blue} x\neq -4

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

    Точка минимума х = –3, там и будет наименьшее значение функции:

у(–3) = 2·(–3) − ln(–3 + 4)² = –6 – ln1= –6 – 0 = –6

Ответ: –6.