Решение №2388 Найдите точку максимума функции у=(х-5)^2∙е^(х-7).

Решение:

y = (x − 5)²∙e^x−7

    Найдём производную функцию:

y′ = ((x–5)²)′∙𝑒^𝑥–7 + (x–5)²∙(𝑒^𝑥–7)′ = 2·(x–5)∙𝑒^𝑥–7 + (x–5)²∙𝑒^𝑥–7 = 𝑒^𝑥–7(2·(x–5) + (x–5)²) = 𝑒^𝑥−7(2x – 10 + x² – 10x + 25) = 𝑒^x−7(x² – 8x + 15)

    Найдём нули функции:

𝑒^𝑥−7(x² – 8x + 15) = 0
𝑒^𝑥−7 = 0 корней нет
или
x² – 8x + 15 = 0

D = (–8)² – 4·1·15 = 4 = 2²
x_{1}=\frac{8+2}{2\cdot 1}=\frac{10}{2}=5\\x_{2}=\frac{8-2}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

    Точка максимума х = 3.

Ответ: 3.