Решение №2387 Найдите точку минимума функции y=(x^2−9x+9)∙e^(x+27).

Решение:

𝑦 = (𝑥² − 9𝑥 + 9)∙𝑒^𝑥+27

    Найдём производную функцию:

𝑦′ = (𝑥² − 9𝑥 + 9)′∙𝑒^𝑥+27 + (𝑥² − 9𝑥 + 9)∙(𝑒^𝑥+27)′ = (2𝑥 − 9)∙𝑒^𝑥+27 + (𝑥² − 9𝑥 + 9)∙𝑒^𝑥+27 = 𝑒^𝑥+27(2𝑥 − 9 + 𝑥² − 9𝑥 + 9) = 𝑒^𝑥+27(𝑥² – 7х)

    Найдём нули функции:

𝑒^𝑥+27(𝑥² – 7х) = 0
𝑒^𝑥+27·𝑥·(𝑥 – 7) = 0
𝑒^𝑥+27 = 0 корней нет
или
𝑥₁ = 0
или
𝑥 – 7 = 0
х₂ = 7

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

    Точка минимума х = 7.

Ответ: 7.